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Rêves Vision
Seconde

Équation et tolérance sur un temps de livraison

Énoncé

Une application de livraison de repas annonce un temps de trajet cible de 3030 minutes. Pour une commande, on note tt le temps réel de livraison (en minutes) et on s'intéresse à son écart à la cible, mesuré par ∣t−30∣.|t - 30|.

1) Un livreur arrive avec un écart de exactement 66 minutes par rapport à la cible : cela se traduit par l'équation ∣t−30∣=6.|t - 30| = 6. Résoudre cette équation et interpréter les deux solutions.

2) L'application juge une livraison « dans les temps » lorsque l'écart à la cible est au plus 66 minutes, ce qui s'écrit ∣t−30∣≤6.|t - 30| \le 6. Résoudre cette inéquation et donner l'intervalle des temps acceptés.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par traduire ∣t−30∣|t - 30| par « la distance entre le temps réel tt et la cible 3030 ». Une égalité =6= 6 donne deux cas ; une inégalité ≤6\le 6 donne un intervalle.
  2. Pour l'équation, enlève la valeur absolue de deux façons : t−30=6t - 30 = 6 ou t−30=−6t - 30 = -6, puis ajoute 3030 partout.
  3. Pour l'inéquation, applique ∣t−c∣≤r  ⟺  c−r≤t≤c+r|t - c| \le r \iff c - r \le t \le c + r avec c=30c = 30 et r=6r = 6 : tu obtiens un intervalle centré sur 3030.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Interpréter l'écriture

    L'expression ∣t−30∣|t - 30| est la distance entre le temps réel tt et la cible 3030 minutes. Elle mesure donc l'écart, sans préciser si la livraison est en avance ou en retard.

  2. 2. 1) Résoudre l'équation |t − 30| = 6

    On cherche les temps situés à distance 66 de 30.30. Pour a>0a > 0, l'équation ∣t−30∣=a|t - 30| = a s'enlève de deux façons : t−30=at - 30 = a ou t−30=−a.t - 30 = -a. Avec a=6a = 6, on écrit donc t−30=6t - 30 = 6 ou t−30=−6.t - 30 = -6.

  3. 3. 1) Calculer les solutions

    On ajoute 3030 de chaque côté. La première équation donne t=30+6=36t = 30 + 6 = 36 et la seconde t=30−6=24.t = 30 - 6 = 24. Donc S1={24 ; 36}.S_1 = \{24\,;\,36\}. Cela correspond à une livraison soit en avance de 66 minutes (2424 min), soit en retard de 66 minutes (3636 min).

  4. 4. 1) Vérification

    On contrôle : ∣24−30∣=∣−6∣=6|24 - 30| = |-6| = 6 ✓ et ∣36−30∣=∣6∣=6|36 - 30| = |6| = 6 ✓. Les deux temps conviennent.

  5. 5. 2) Résoudre l'inéquation |t − 30| ≤ 6

    Cette fois l'écart doit être au plus 6.6. On utilise ∣t−c∣≤r  ⟺  c−r≤t≤c+r|t - c| \le r \iff c - r \le t \le c + r, avec le centre c=30c = 30 et le rayon r=6.r = 6. Cela donne 30−6≤t≤30+630 - 6 \le t \le 30 + 6, c'est-à-dire 24≤t≤36.24 \le t \le 36.

  6. 6. 2) Conclure

    Les bornes sont incluses car l'inégalité est large (≤\le). L'ensemble des temps acceptés est l'intervalle fermé S2=[ 24 ; 36 ]S_2 = [\,24\,;\,36\,] : une livraison est « dans les temps » dès que tt est compris entre 2424 et 3636 minutes.
Réponse finale
∣t−30∣=6  ⟺  S1={24 ; 36};∣t−30∣≤6  ⟺  S2=[ 24 ; 36 ]|t - 30| = 6 \iff S_1 = \{24\,;\,36\} \quad ; \quad |t - 30| \le 6 \iff S_2 = [\,24\,;\,36\,]
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