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Rêves Vision
Sixième Approfondissement gratuit

Construire la médiatrice au compas et la propriété d'équidistance

Énoncé

Dans une partie de Minecraft, deux joueurs veulent construire un coffre commun exactement à la même distance de leur maison respective. La maison de Léa est le point AA, celle de Sami le point BB, avec AB=6AB = 6 cm sur le plan. Construis au compas et à la règle la droite sur laquelle ils peuvent placer le coffre, puis explique pourquoi tous les points de cette droite conviennent.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. « À égale distance de deux points » doit te faire penser tout de suite à une droite particulière du cours.
  2. Cette droite est la médiatrice du segment [AB][AB] : la droite qui passe par le milieu de [AB][AB] et qui lui est perpendiculaire.
  3. Pour la construire au compas : même écartement (plus grand que 33 cm) depuis AA puis depuis BB, et tu relies les deux points d'intersection des arcs. Pour la justification, compare PAPA et PBPB.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la médiatrice

    On cherche tous les points MM tels que MA=MBMA = MB (à égale distance des deux maisons). D'après la propriété d'équidistance, l'ensemble de ces points est exactement la médiatrice du segment [AB][AB]. Il faut donc construire la médiatrice de [AB][AB].

  2. 2. Premier coup de compas (depuis A)

    On ouvre le compas d'un écartement un peu plus grand que la moitié de [AB][AB], donc plus grand que 33 cm (par exemple 44 cm). On pointe sur AA et on trace un arc de cercle au-dessus du segment et un arc en dessous. On garde le même écartement pour toute la suite.

  3. 3. Deuxième coup de compas (depuis B)

    Sans changer l'écartement, on pointe sur BB et on trace à nouveau un arc au-dessus et un arc en dessous. Les nouveaux arcs coupent les premiers en deux points, qu'on note PP (au-dessus) et QQ (en dessous).

  4. 4. Tracer la droite

    À la règle, on trace la droite (PQ)(PQ) : c'est la médiatrice de [AB][AB]. Elle coupe le segment [AB][AB] en son milieu, en formant un angle droit. C'est sur cette droite que le coffre doit être placé.

  5. 5. Justifier l'équidistance

    Pourquoi la construction marche-t-elle ? Le point PP a été tracé avec le même écartement de compas depuis AA et depuis BB, donc PA=PBPA = PB. De même QA=QBQA = QB. Les points PP et QQ sont donc à égale distance de AA et de BB : par la propriété caractéristique, ils sont sur la médiatrice de [AB][AB]. Comme deux points définissent une droite, (PQ)(PQ) est la médiatrice. Et tout point MM de cette droite vérifie MA=MBMA = MB. Le coffre placé n'importe où sur la médiatrice (PQ)(PQ) de [AB][AB] sera à égale distance des deux maisons : pour tout point MM de cette droite, MA=MBMA = MB.
Réponse finale
La meˊdiatrice (PQ) de [AB] : pour tout point M de cette droite, MA=MB.\text{La médiatrice } (PQ) \text{ de } [AB] \text{ : pour tout point } M \text{ de cette droite, } MA = MB.
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