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Comparer deux décharges de condensateur

Énoncé

Deux condensateurs se déchargent simultanément. Les tensions, en volts, sont modélisées par u1(t)=10 e−t2u_1(t) = 10\, e^{-\frac{t}{2}} et u2(t)=6 e−t3u_2(t) = 6\, e^{-\frac{t}{3}}, où tt est le temps en millisecondes. Les constantes de temps valent donc τ1=2\tau_1 = 2 ms et τ2=3\tau_2 = 3 ms. Déterminer l'instant t>0t > 0 pour lequel les deux tensions sont égales, puis la valeur commune de la tension à cet instant (arrondir au centième). On rappelle que ln⁡53≈0,511\ln\frac{5}{3} \approx 0{,}511.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Écris simplement l'égalité u1(t)=u2(t)u_1(t) = u_2(t), c'est-à-dire 10 e−t2=6 e−t310\, e^{-\frac{t}{2}} = 6\, e^{-\frac{t}{3}}.
  2. Rassemble les exponentielles d'un même côté en utilisant eaeb=ea−b\frac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a-b}. Tu obtiendras 106=e−t3+t2\frac{10}{6} = e^{-\frac{t}{3}+\frac{t}{2}}, et il faut réduire l'exposant au même dénominateur.
  3. L'exposant se simplifie en t6\frac{t}{6}, donc 53=et6\frac{5}{3} = e^{\frac{t}{6}}. L'antécédent de 53\frac{5}{3} par l'exponentielle est ln⁡53\ln\frac{5}{3}, d'où t6=ln⁡53\frac{t}{6} = \ln\frac{5}{3}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Poser l'égalité des deux tensions

    Les tensions sont égales lorsque u1(t)=u2(t)u_1(t) = u_2(t), soit : 10 e−t2=6 e−t3.10\, e^{-\frac{t}{2}} = 6\, e^{-\frac{t}{3}}.

  2. 2. Rassembler les exponentielles

    On divise les deux membres par 66 puis par e−t2e^{-\frac{t}{2}} (qui est strictement positif). En utilisant eaeb=ea−b\frac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a-b} : 106=e−t3e−t2=e−t3+t2.\frac{10}{6} = \frac{e^{-\frac{t}{3}}}{e^{-\frac{t}{2}}} = e^{-\frac{t}{3} + \frac{t}{2}}. On simplifie aussi la fraction : 106=53.\frac{10}{6} = \frac{5}{3}.

  3. 3. Simplifier l'exposant

    On réduit l'exposant au même dénominateur : −t3+t2=−2t6+3t6=t6.-\frac{t}{3} + \frac{t}{2} = -\frac{2t}{6} + \frac{3t}{6} = \frac{t}{6}. L'équation devient donc : 53=et6.\frac{5}{3} = e^{\frac{t}{6}}.

  4. 4. Résoudre l'équation

    L'exponentielle est strictement croissante : l'équation a une unique solution. L'antécédent de 53\frac{5}{3} par l'exponentielle est ln⁡53\ln\frac{5}{3}, donc t6=ln⁡53\frac{t}{6} = \ln\frac{5}{3}, d'où t=6ln⁡53≈6×0,511≈3,06t = 6 \ln\frac{5}{3} \approx 6 \times 0{,}511 \approx 3{,}06 ms. Cet instant est bien positif, ce qui est cohérent avec l'énoncé.

  5. 5. Calculer la tension commune

    On remplace t≈3,06t \approx 3{,}06 ms dans u1u_1 : u1(3,06)=10×e−3,062=10×e−1,53≈10×0,216≈2,16u_1(3{,}06) = 10 \times e^{-\frac{3{,}06}{2}} = 10 \times e^{-1{,}53} \approx 10 \times 0{,}216 \approx 2{,}16 V. On vérifie avec u2u_2 : u2(3,06)=6×e−3,063=6×e−1,02≈6×0,360≈2,16u_2(3{,}06) = 6 \times e^{-\frac{3{,}06}{3}} = 6 \times e^{-1{,}02} \approx 6 \times 0{,}360 \approx 2{,}16 V. Les deux résultats coïncident, ce qui confirme la valeur commune ≈2,16\approx 2{,}16 V.

  6. 6. Conclure

    Les deux tensions sont égales à l'instant t=6ln⁡53≈3,06t = 6\ln\frac{5}{3} \approx 3{,}06 ms, où elles valent environ 2,162{,}16 V chacune. Avant cet instant u1u_1 est plus grande, ensuite c'est u2u_2 qui domine, car le condensateur de plus petite constante de temps (τ1=2\tau_1 = 2 ms) se décharge plus vite.
Réponse finale
t=6ln⁡53≈3,06 ms;u1(t)=u2(t)≈2,16 Vt = 6\ln\frac{5}{3} \approx 3{,}06 \ \text{ms} \quad ; \quad u_1(t) = u_2(t) \approx 2{,}16 \ \text{V}
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