Terminale STI2D · Chapitre 2

Fonction exponentielle

Cours de Terminale STI2D sur la fonction exponentielle : dérivée, équation fonctionnelle, variations, limites et modèles de croissance et décroissance. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

La tension d’un condensateur qui se décharge, la température d’une pièce métallique qui refroidit, l’intensité d’un signal qui s’atténue dans un matériau : tous ces phénomènes diminuent de la même manière, de plus en plus lentement, sans jamais vraiment s’annuler. C’est exactement le comportement de la fonction exponentielle. C’est l’outil mathématique indispensable pour modéliser une croissance ou une décroissance en sciences de l’ingénieur.

Ce que tu sauras faire

Je connais la fonction exponentielle $\exp$ , sa dérivée et l’équation fonctionnelle $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .
Je sais dériver une fonction de la forme $e^{u(x)}$ .
Je connais les limites de l’exponentielle en $+\infty$ et en $-\infty$ , et j’en déduis les variations.
Je sais utiliser un modèle de la forme $f(t) = A\, e^{-kt}$ pour étudier une décroissance (décharge, refroidissement, atténuation).

À quoi ça sert, concrètement ?

Tu débranches une alimentation : la tension aux bornes du condensateur ne tombe pas d’un coup à $0$ , elle décroît en exponentielle. Tu sors une pièce du four : elle refroidit vite au début, puis de plus en plus lentement vers la température ambiante. Une onde traverse un blindage : son intensité chute du même genre. À chaque fois, la même fonction décrit la vitesse à laquelle « le système oublie » son état de départ. La maîtriser, c’est savoir prédire une tension au bout de $3$ ms ou l’épaisseur de plomb qui divise un rayonnement par deux.

La fonction exponentielle

On admet qu’il existe une unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : $f' = f \qquad \text{et} \qquad f(0) = 1.$ Cette fonction est appelée fonction exponentielle, notée $\exp$ . Pour tout réel $x$ , on note $\exp(x) = e^{x}$ , où $e \approx 2{,}718$ est un nombre irrationnel.

Elle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : pour tout réel $x$ , $e^{x} > 0$ .

Équation fonctionnelle et propriétés algébriques

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$ : $e^{a+b} = e^{a} \times e^{b}$ $e^{-a} = \frac{1}{e^{a}} \qquad e^{a-b} = \frac{e^{a}}{e^{b}} \qquad \left(e^{a}\right)^{n} = e^{n a}$

La toute première relation, $e^{a+b} = e^a \times e^b$ , est l’équation fonctionnelle : c’est elle qui transforme une somme dans l’exposant en produit. On retient aussi deux valeurs utiles : $e^{0} = 1$ et $e^{1} = e$ .

Dérivée de l'exponentielle

La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée : $\left(e^{x}\right)' = e^{x}.$

Pour une fonction composée, si $u$ est dérivable sur un intervalle, alors $e^{u}$ est dérivable et : $\left(e^{u}\right)' = u' \times e^{u}.$

Dériver une fonction de la forme exponentielle de u

On veut dériver une fonction du type $e^{u(x)}$ .

Repérer l’exposant $u(x)$ (tout ce qui est « au-dessus » du $e$ ).
Calculer sa dérivée $u'(x)$ .
Appliquer la formule : $\left(e^{u}\right)' = u' \times e^{u}$ , c’est-à-dire recopier l’exponentielle et la multiplier par $u'(x)$ .

Exemple : soit $f(x) = e^{-0{,}05 x}$ . Ici $u(x) = -0{,}05 x$ , donc $u'(x) = -0{,}05$ . On obtient : $f'(x) = -0{,}05 \times e^{-0{,}05 x}.$ Comme $e^{-0{,}05 x} > 0$ et $-0{,}05 < 0$ , la dérivée est négative : la fonction est décroissante.

Limites de l'exponentielle

Aux deux bornes de $\mathbb{R}$ , la fonction exponentielle se comporte ainsi : $\lim_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0.$

En $-\infty$ , la courbe se rapproche de l’axe des abscisses sans jamais le toucher : la droite d’équation $y = 0$ est une asymptote horizontale. C’est pour cela qu’une grandeur en décroissance exponentielle tend vers une valeur limite sans jamais l’atteindre exactement.

Sens de variation

Pour tout réel $x$ , $\left(e^{x}\right)' = e^{x} > 0$ : la dérivée est strictement positive.

Donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Comme elle est aussi continue, strictement monotone, avec les limites ci-dessus, l’équation $e^{x} = k$ admet une unique solution dès que $k > 0$ . C’est ce qui permettra de résoudre des équations comme $e^{-kt} = \frac{1}{2}$ .

Le modèle de décroissance exponentielle

De nombreuses grandeurs physiques en STI2D suivent un modèle de la forme : $f(t) = A\, e^{-k t} \qquad \text{avec } A > 0 \text{ et } k > 0.$

$A = f(0)$ est la valeur de départ (à l’instant $t = 0$ ).
$k$ est une constante strictement positive : plus $k$ est grand, plus la décroissance est rapide.
On pose souvent $\tau = \frac{1}{k}$ , appelée constante de temps. Au bout de $t = \tau$ , la grandeur a été multipliée par $e^{-1} \approx 0{,}368$ : il reste environ $37\ \%$ de la valeur de départ.

La dérivée vaut $f'(t) = -k A\, e^{-k t}$ : elle est négative, ce qui confirme que $f$ décroît, et elle donne la vitesse de variation à chaque instant.

Décharge d'un condensateur

La tension aux bornes d’un condensateur qui se décharge dans une résistance suit le modèle $u(t) = U_0\, e^{-\frac{t}{\tau}}$ , où $U_0$ est la tension initiale et $\tau$ la constante de temps.

Pour $U_0 = 12$ V et $\tau = 5$ ms :

À $t = 0$ : $u(0) = 12 \times e^{0} = 12 \times 1 = 12$ V (la tension de départ).
À $t = \tau = 5$ ms : $u(\tau) = 12 \times e^{-1} \approx 12 \times 0{,}368 \approx 4{,}41$ V.

Au bout d’une constante de temps, la tension est donc passée d’environ $12$ V à environ $4{,}41$ V.

Les pièges à éviter

« $e^{a+b} = e^{a} + e^{b}$ » : c’est FAUX. Le VRAI : l’exponentielle transforme une somme en produit, donc $e^{a+b} = e^{a} \times e^{b}$ .
Oublier le $u'$ en dérivant une composée : écrire $\left(e^{-0{,}05 t}\right)' = e^{-0{,}05 t}$ est FAUX. Le VRAI : on multiplie par la dérivée de l’exposant, donc $\left(e^{-0{,}05 t}\right)' = -0{,}05 \times e^{-0{,}05 t}$ .
Croire que $e^{x}$ peut être négatif ou nul : c’est FAUX. Le VRAI : pour tout réel $x$ , $e^{x} > 0$ . Une décroissance exponentielle se rapproche de $0$ mais reste strictement positive.
Confondre $k$ et $\tau$ : dans $e^{-k t}$ , le coefficient $k$ et la constante de temps $\tau = \frac{1}{k}$ sont inverses l’un de l’autre. Un grand $k$ correspond à un petit $\tau$ , donc à une décroissance rapide.

Le réflexe de l'instant tau

Pour estimer une décroissance sans calculatrice, retiens trois repères de $f(t) = A\, e^{-t/\tau}$ :

à $t = 0$ : il reste $100\ \%$ ;
à $t = \tau$ : il reste environ $37\ \%$ ;
à $t = 3\tau$ : il reste environ $5\ \%$ (le système est « presque » à sa valeur finale).

Ces ordres de grandeur permettent de vérifier rapidement qu’un résultat de calcul est cohérent.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Décharge d'un condensateur

Dans un circuit RC, la tension aux bornes d'un condensateur qui se décharge est modélisée par $u(t) = U_0\, e^{-\frac{t}{\tau}}$ , où $t$ est le temps en millisecondes, $U_0$ la tension initiale et $\tau$ la constante de temps. On donne $U_0 = 12$ V et $\tau = 5$ ms. Calculer la tension à l'instant initial $t = 0$ , puis à l'instant $t = \tau$ (arrondir au centième de volt).

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Le nombre de vues d'une vidéo

Une vidéo postée sur une plateforme de partage devient virale. Le nombre de vues est modélisé par $N(t) = N_0\, e^{k t}$ , où $t$ est le temps en jours depuis la publication, $N_0$ le nombre de vues initial et $k$ un coefficient strictement positif. On observe $N_0 = 5000$ vues à la publication (instant $t = 0$ ) et un coefficient $k = 0{,}25$ par jour. Le modèle prévoit-il une croissance ? Estimer le nombre de vues au bout de $10$ jours (arrondir à la centaine).

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Simplifier des expressions avec l'exponentielle

En préparant une chaîne de traitement du signal, un technicien doit regrouper plusieurs facteurs d'amplification écrits sous forme d'exponentielles. Il obtient les deux expressions $A = \dfrac{e^{2{,}5} \times e^{-1{,}5}}{e^{-2}}$ et $B = \left(e^{-0{,}5}\right)^{4} \times e^{3}$ . Écrire $A$ et $B$ sous la forme $e^{n}$ avec $n$ entier, puis donner une valeur approchée de chacune au centième.

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Atténuation d'une onde dans un matériau

Une onde traverse un matériau absorbant. Son intensité, en unité arbitraire, est modélisée par $I(x) = I_0\, e^{-\mu x}$ , où $x$ est l'épaisseur traversée en centimètres et $\mu = 0{,}23$ cm $^{-1}$ le coefficient d'atténuation. On appelle épaisseur de demi-atténuation l'épaisseur $x$ pour laquelle l'intensité est divisée par deux. Déterminer cette épaisseur (arrondir au centième de centimètre). On rappelle que $\ln 2 \approx 0{,}693$ .

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Joueurs actifs d'un nouveau mode de jeu

Un studio lance un nouveau mode de jeu en ligne. Le nombre de joueurs actifs chaque jour, en millions, est modélisé par $f(t) = 2 - 1{,}5\, e^{-0{,}4 t}$ , où $t$ est le temps en semaines depuis le lancement ( $t \geq 0$ ). Calculer $f'(t)$ et en déduire le sens de variation de $f$ . Calculer ensuite le nombre de joueurs au lancement ( $t = 0$ ) puis au bout de $5$ semaines (arrondir au centième de million). Enfin, en utilisant la limite de l'exponentielle, préciser vers quelle valeur tend le nombre de joueurs.

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Refroidissement d'une pièce métallique

À la sortie d'un four, une pièce métallique refroidit dans un atelier. Sa température, en degrés Celsius, est modélisée par $T(t) = 20 + 180\, e^{-0{,}05 t}$ , où $t$ est le temps en minutes. La vitesse de refroidissement à l'instant $t$ est donnée par la dérivée $T'(t)$ , en degrés Celsius par minute. Déterminer $T'(t)$ , puis la vitesse de refroidissement à $t = 0$ et à $t = 10$ minutes (arrondir au centième).

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Bonus

Comparer deux décharges de condensateur

Deux condensateurs se déchargent simultanément. Les tensions, en volts, sont modélisées par $u_1(t) = 10\, e^{-\frac{t}{2}}$ et $u_2(t) = 6\, e^{-\frac{t}{3}}$ , où $t$ est le temps en millisecondes. Les constantes de temps valent donc $\tau_1 = 2$ ms et $\tau_2 = 3$ ms. Déterminer l'instant $t > 0$ pour lequel les deux tensions sont égales, puis la valeur commune de la tension à cet instant (arrondir au centième). On rappelle que $\ln\frac{5}{3} \approx 0{,}511$ .

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Valeur d'une machine d'atelier dans le temps

Un atelier achète une machine de découpe. Sa valeur, en euros, est modélisée par $V(t) = 18000\, e^{-0{,}15 t}$ , où $t$ est le temps en années depuis l'achat ( $t \geq 0$ ). Déterminer la valeur de la machine au bout de $5$ ans (arrondir à l'euro). L'atelier prévoit de revendre la machine dès que sa valeur passe en dessous de $6000$ euros : déterminer au bout de combien d'années cela se produit (arrondir au centième d'année). On rappelle que $\ln 3 \approx 1{,}099$ .

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Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle ?

La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée. Si f est la fonction exponentielle, alors f prime est aussi la fonction exponentielle. C'est la seule fonction, à un coefficient près, qui vérifie cette propriété, et elle prend la valeur 1 en zéro. Pour une fonction composée comme exponentielle de u de x, la dérivée vaut u prime de x multipliée par exponentielle de u de x.

Quelles sont les limites de la fonction exponentielle en moins l'infini et en plus l'infini ?

Quand x tend vers plus l'infini, exponentielle de x tend vers plus l'infini : la croissance est très rapide. Quand x tend vers moins l'infini, exponentielle de x tend vers zéro tout en restant strictement positive. La courbe se rapproche alors de l'axe des abscisses sans jamais le toucher : on dit que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale.

À quoi sert un modèle en exponentielle décroissante en STI2D ?

De nombreux phénomènes physiques suivent une loi de la forme une valeur de départ multipliée par exponentielle de moins k fois t. C'est le cas de la décharge d'un condensateur, du refroidissement d'une pièce ou de l'atténuation d'un signal dans un matériau. La constante k, ou la constante de temps qui lui est associée, indique à quelle vitesse la grandeur diminue vers sa valeur finale.