Terminale · Chapitre 5

La convexité : dérivée seconde, point d'inflexion

Cours de Terminale sur la convexité : fonction convexe ou concave, caractérisation par la dérivée seconde f'' et point d'inflexion. Avec exercices corrigés pas à pas.

8 exercices corrigés · Terminale générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

La dérivation

La convexité décrit la façon dont une courbe est « courbée ». Une fonction convexe tourne sa courbe vers le haut et reste au-dessus de ses tangentes ; une fonction concave fait l’inverse. Pour trancher, un seul outil suffit : le signe de la dérivée seconde $f''$ .

Fonction convexe, fonction concave

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

$f$ est convexe sur $I$ lorsque sa courbe est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes (elle est tournée « vers le haut »).
$f$ est concave sur $I$ lorsque sa courbe est entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes (tournée « vers le bas »).

Convexité et dérivée seconde

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ .

$f$ est convexe sur $I$ $\ \Longleftrightarrow\ f''(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$ .
$f$ est concave sur $I$ $\ \Longleftrightarrow\ f''(x) \leq 0$ pour tout $x \in I$ .

De façon équivalente : $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante (et concave si et seulement si $f'$ est décroissante).

Point d'inflexion

Un point d’inflexion est un point de la courbe en lequel la convexité change : $f$ passe de convexe à concave, ou de concave à convexe.

En un tel point d’abscisse $x_0$ , la dérivée seconde s’annule en changeant de signe : $f''(x_0) = 0$ et $f''$ change de signe de part et d’autre de $x_0$ .

Convexité des fonctions de référence

$x \mapsto x^2$ et $x \mapsto e^{x}$ sont convexes sur $\mathbb{R}$ .
$x \mapsto \sqrt{x}$ et $x \mapsto \ln x$ sont concaves sur $]0\,;+\infty[$ .
$x \mapsto x^3$ est concave sur $]-\infty\,;0]$ puis convexe sur $[0\,;+\infty[$ : l’origine est un point d’inflexion.

Étudier la convexité d'une fonction

Calculer la dérivée $f'$ , puis la dérivée seconde $f''$ .
Étudier le signe de $f''$ (souvent dans un tableau de signes).
Conclure : $f$ est convexe là où $f'' \geq 0$ , concave là où $f'' \leq 0$ .
Repérer les abscisses où $f''$ s’annule en changeant de signe : ce sont les points d’inflexion.

Les pièges classiques

$f''(x_0) = 0$ ne suffit pas pour un point d’inflexion : il faut que $f''$ change de signe. Par exemple $f(x) = x^4$ vérifie $f''(0) = 0$ , mais $f$ reste convexe partout : $0$ n’est pas un point d’inflexion.
Ne pas confondre convexité ( $f''$ ) et sens de variation ( $f'$ ) : une fonction peut être croissante et concave.
« Convexe » veut dire au-dessus des tangentes : penser à la parabole $x^2$ , ouverte vers le haut.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer une dérivée seconde

Calculer la dérivée seconde de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ .

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Étudier la convexité de la fonction cube

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$ . Étudier la convexité de $f$ en précisant les intervalles où elle est convexe et ceux où elle est concave.

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Concavité d'un score de recommandation

Une application de streaming évalue la satisfaction d'un abonné selon le nombre $x$ de vidéos pertinentes qu'elle lui recommande chaque jour. Pour $x \geq 0$ , cette satisfaction (sur 100) est modélisée par $S(x) = 40\ln(x + 1)$ . Montrer que la fonction $S$ est concave sur $[0\,;+\infty[$ , puis interpréter ce résultat pour l'application.

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Convexité d'un polynôme de degré 4

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{4} - 6x^{2} + 5$ . Étudier la convexité de $f$ et déterminer les coordonnées des points d'inflexion de sa courbe.

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Déterminer un point d'inflexion

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x - 1$ . Déterminer les coordonnées du point d'inflexion de la courbe de $f$ .

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Lire la convexité sur une situation donnée

On étudie une fonction $g$ deux fois dérivable sur $[-3\,;3]$ . Sa dérivée seconde $g''$ est négative sur $[-3\,;1]$ , s'annule en $x = 1$ , puis est positive sur $[1\,;3]$ . Décrire la convexité de $g$ et préciser si sa courbe possède un point d'inflexion.

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Bonus

Étude complète de convexité (avec exponentielle)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x - 2)\,e^{x}$ . Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$ , déterminer l'éventuel point d'inflexion de sa courbe, et interpréter le résultat.

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Point d'inflexion dans la croissance d'un jeu

Un studio suit le nombre de joueurs actifs de son jeu vidéo après sa sortie. Pour $t$ compris entre $0$ et $12$ (en mois), ce nombre, exprimé en milliers de joueurs, est modélisé par $P(t) = -t^{3} + 18t^{2} + 50$ . Étudier la convexité de $P$ sur $[0\,;12]$ , déterminer le point d'inflexion de sa courbe, et expliquer ce qu'il représente pour le studio.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est convexe ou concave ?

On étudie le signe de la dérivée seconde f''. Sur un intervalle où f'' ≥ 0, la fonction est convexe (courbe tournée vers le haut, au-dessus de ses tangentes). Sur un intervalle où f'' ≤ 0, elle est concave (au-dessous de ses tangentes).

Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?

Un point d'inflexion est un point de la courbe où la convexité change : la fonction passe de convexe à concave ou inversement. Il correspond à une valeur où f'' s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE.

Quel est le lien entre dérivée seconde et convexité ?

Une fonction f est convexe sur un intervalle I si et seulement si f'' ≥ 0 sur I ; elle est concave si et seulement si f'' ≤ 0 sur I. De façon équivalente, f est convexe lorsque sa dérivée f' est croissante.