Étude complète de convexité (avec exponentielle)

$f$ est un produit, dérivable sur $\mathbb{R}$. Avec $(uv)' = u'v + uv'$ où $u(x) = x - 2$ et $v(x) = e^x$ : $f'(x) = 1 \times e^x + (x - 2)\,e^x = (x - 1)\,e^x.$

On dérive de nouveau le produit $(x - 1)\,e^x$ : $f''(x) = 1 \times e^x + (x - 1)\,e^x = x\,e^x.$

Pour tout réel $x$, $e^x > 0$ : le signe de $f''(x) = x\,e^x$ est donc celui de $x$. Ainsi $f''(x) \leq 0$ sur $]-\infty\,;0]$ et $f''(x) \geq 0$ sur $[0\,;+\infty[$. La fonction $f$ est concave sur $]-\infty\,;0]$ et convexe sur $[0\,;+\infty[$.

$f''$ s'annule en $x = 0$ en changeant de signe (du négatif au positif) : la convexité change. La courbe admet donc un point d'inflexion en $x = 0$, d'ordonnée $f(0) = (0 - 2)\,e^{0} = -2 \times 1 = -2$, soit le point $(0\,;-2)$.

Le point d'inflexion $(0\,;-2)$ marque le passage d'une courbe tournée vers le bas (concave, à gauche) à une courbe tournée vers le haut (convexe, à droite). C'est aussi l'endroit où la pente de la tangente, donnée par $f'$, cesse de diminuer pour se mettre à augmenter.