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Terminale Approfondissement gratuit

Étude de la fonction sinus sur [0 ; 2π]

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur [0 ; 2π][0\,;\,2\pi] par f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. Étudier le signe de f′(x)f'(x), dresser le tableau de variations de ff et préciser ses extremums.

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  1. 1. Calculer la dérivée

    La fonction sin⁡\sin est dérivable sur [0 ; 2π][0\,;\,2\pi] et f′(x)=(sin⁡x)′=cos⁡x.f'(x) = (\sin x)' = \cos x. Étudier les variations de ff revient donc à étudier le signe de cos⁡x.\cos x.

  2. 2. Étudier le signe de cos x

    Sur [0 ; 2π][0\,;\,2\pi], à l'aide du cercle trigonométrique : cos⁡x>0\cos x > 0 sur [0 ; π2[\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[ et sur ]3π2 ; 2π]\left]\dfrac{3\pi}{2}\,;\,2\pi\right] ; cos⁡x<0\cos x < 0 sur ]π2 ; 3π2[\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right[. La dérivée s'annule en π2\dfrac{\pi}{2} et en 3π2.\dfrac{3\pi}{2}.

  3. 3. Dresser le tableau de variations

    On en déduit que ff est croissante sur [0 ; π2]\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right], décroissante sur [π2 ; 3π2]\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right], puis croissante sur [3π2 ; 2π].\left[\dfrac{3\pi}{2}\,;\,2\pi\right]. Aux bornes : f(0)=sin⁡0=0f(0) = \sin 0 = 0 et f(2π)=sin⁡(2π)=0.f(2\pi) = \sin(2\pi) = 0.

  4. 4. Préciser les extremums

    En x=π2x = \dfrac{\pi}{2}, la dérivée passe du signe ++ au signe −- : ff admet un maximum égal à f ⁣(π2)=sin⁡π2=1.f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} = 1. En x=3π2x = \dfrac{3\pi}{2}, la dérivée passe du signe −- au signe ++ : ff admet un minimum égal à f ⁣(3π2)=sin⁡3π2=−1.f\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = \sin\dfrac{3\pi}{2} = -1.
Réponse finale
f′(x)=cos⁡x:f croıˆt sur [0;π2], deˊcroıˆt sur [π2;3π2], croıˆt sur [3π2;2π]. Maximum 1 en π2, minimum −1 en 3π2.f'(x) = \cos x : f \text{ croît sur } \left[0;\tfrac{\pi}{2}\right], \text{ décroît sur } \left[\tfrac{\pi}{2};\tfrac{3\pi}{2}\right], \text{ croît sur } \left[\tfrac{3\pi}{2};2\pi\right]. \text{ Maximum } 1 \text{ en } \tfrac{\pi}{2}, \text{ minimum } -1 \text{ en } \tfrac{3\pi}{2}.
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