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Rêves Vision

Terminale · Chapitre 3

Les primitives

Cours de Terminale sur les primitives : définition, primitives usuelles, unicité à une constante près et condition initiale. Avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Chercher une primitive, c’est remonter la dérivation : à partir de ff, retrouver une fonction FF dont ff serait la dérivée. C’est l’étape indispensable avant le calcul d’intégrales.

Primitive

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. Une primitive de ff sur II est une fonction FF, dérivable sur II, telle que : F′(x)=f(x)pour tout x∈I.F'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I.

Unicité à une constante près

Si FF est une primitive de ff sur II, alors ff admet une infinité de primitives : ce sont toutes les fonctions de la forme x↦F(x)+k,k∈R.x \mapsto F(x) + k, \quad k \in \mathbb{R}.

Primitives usuelles

  • f(x)=xnf(x) = x^{n} (avec n≠−1n \neq -1)  ⇒ F(x)=xn+1n+1\ \Rightarrow\ F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}
  • f(x)=1x2 ⇒ F(x)=−1xf(x) = \dfrac{1}{x^2} \ \Rightarrow\ F(x) = -\dfrac{1}{x}
  • f(x)=1x ⇒ F(x)=ln⁡x(x>0)f(x) = \dfrac{1}{x} \ \Rightarrow\ F(x) = \ln x \quad (x > 0)
  • f(x)=ex ⇒ F(x)=exf(x) = e^{x} \ \Rightarrow\ F(x) = e^{x}
  • f(x)=cos⁡x ⇒ F(x)=sin⁡xf(x)=sin⁡x ⇒ F(x)=−cos⁡xf(x) = \cos x \ \Rightarrow\ F(x) = \sin x \qquad f(x) = \sin x \ \Rightarrow\ F(x) = -\cos x

Primitive avec condition initiale

Parmi toutes les primitives, il en existe une seule qui prend une valeur donnée en un point fixé. La condition (par exemple F(x0)=y0F(x_0) = y_0) permet de déterminer la constante kk.

Déterminer une primitive

  1. Reconnaître la forme de ff et appliquer les primitives usuelles, terme par terme.
  2. Ne pas oublier la constante +k+ k.
  3. Si une condition initiale est donnée, l’utiliser pour calculer kk.

Les pièges classiques

  • Oublier la constante +k+ k (sauf si une condition initiale fixe sa valeur).
  • Pour xnx^n, penser à diviser par n+1n+1 : une primitive de x2x^2 est x33\dfrac{x^3}{3}, pas x3x^3.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Primitive d'une fonction polynôme

Déterminer une primitive de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x2+2xf(x) = 3x^2 + 2x.

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Une primitive de 4x au cube moins 1

Déterminer une primitive de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=4x3−1f(x) = 4x^3 - 1.

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Coût de production d'une marque de sneakers

Une jeune marque de sneakers modélise son coût marginal de production par f(x)=ex+2xf(x) = e^{x} + 2x, où xx est le nombre de centaines de paires fabriquées. Le coût total FF est la primitive de ff qui vérifie F(0)=5F(0) = 5 (en milliers d'euros). Déterminer FF.

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Débit d'une plateforme de streaming

Sur une plateforme de streaming, pour x>0x > 0 heures après le lancement d'une vidéo, le débit instantané de visionnages est modélisé par f(x)=3x2+1x2f(x) = 3x^2 + \dfrac{1}{x^2} (en milliers par heure). On cherche une primitive FF de ff sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.

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Primitive avec une exponentielle

Déterminer une primitive de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2ex−3f(x) = 2e^{x} - 3.

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Primitive vérifiant une condition

Soit f(x)=2xf(x) = 2x. Déterminer la primitive FF de ff telle que F(1)=3F(1) = 3.

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Bonus

Reconnaître une forme u′·eᵘ

Déterminer une primitive de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x ex2f(x) = 2x\,e^{x^2}.

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Stockage cloud et forme u′ sur u

La vitesse de remplissage d'un espace de stockage cloud est modélisée pour x≥0x \geq 0 (en heures) par f(x)=2xx2+1f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1} (en Go par heure). La quantité de données stockées FF est la primitive de ff telle que F(0)=0F(0) = 0. Déterminer FF.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une primitive d'une fonction ?
Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F, dérivable sur I, telle que F' = f. Chercher une primitive, c'est faire l'opération inverse de la dérivation.
Combien de primitives une fonction admet-elle ?
Une fonction qui admet une primitive en admet une infinité : elles diffèrent toutes d'une constante. Si F est une primitive, les autres sont de la forme F + k.
Quelle est une primitive de x puissance n ?
Une primitive de x puissance n (pour n différent de −1) est x puissance (n+1) divisé par (n+1).