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Terminale Approfondissement gratuit

Reconnaître une forme u′·eᵘ

Énoncé

Déterminer une primitive de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x ex2f(x) = 2x\,e^{x^2}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Repérer une forme connue

    On reconnaît la forme u′(x) eu(x)u'(x)\,e^{u(x)} avec u(x)=x2u(x) = x^2, dont la dérivée est u′(x)=2xu'(x) = 2x. Or une primitive de u′ euu'\,e^{u} est eu.e^{u}.

  2. 2. Écrire la primitive

    Une primitive de ff est donc F(x)=ex2+k.F(x) = e^{x^2} + k.

  3. 3. Vérifier

    En dérivant : F′(x)=2x ex2=f(x).F'(x) = 2x\,e^{x^2} = f(x). Le résultat est confirmé.
Réponse finale
F(x)=ex2+kF(x) = e^{x^2} + k
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