Troisième · Chapitre 13
Cours de Troisième sur le théorème de Thalès : configurations triangle et papillon, calcul de longueurs, réciproque. Avec exercices corrigés pour le brevet.
10 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de troisième · Mis à jour en juin 2026
Le théorème de Thalès relie les longueurs créées par deux droites parallèles qui coupent deux droites sécantes. C’est l’outil qui permet, au collège, de calculer une longueur inaccessible (la hauteur d’un arbre, la largeur d’une rivière) et, avec sa réciproque, de démontrer que deux droites sont parallèles. C’est un grand classique du brevet.
La configuration de Thalès
On part de deux droites sécantes en un point . Deux autres droites et viennent les couper, avec :
On dit que et correspondent à et . La question est alors : que se passe-t-il si et sont parallèles ?
Théorème de Thalès
Soit deux droites sécantes en . est un point de la droite et un point de la droite .
Si est parallèle à , alors :
Les longueurs sont proportionnelles : on retrouve les côtés de l’« angle » au numérateur et les côtés du « grand triangle » au dénominateur.
Deux configurations possibles
Le théorème s’applique dans deux situations :
Dans les deux cas, on écrit la même égalité de rapports.
Calculer une longueur avec Thalès
Le produit en croix
Pour résoudre une égalité de la forme , on multiplie en croix :
C’est le calcul de base de toute situation de proportionnalité.
Réciproque du théorème de Thalès
Soit deux droites sécantes en , avec sur et sur .
Si d’une part , et d’autre part les points , , sont alignés dans le même ordre que , , ,
alors les droites et sont parallèles.
C’est cette réciproque que l’on utilise pour démontrer un parallélisme.
Démontrer que deux droites sont parallèles
Les pièges classiques
Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.
Dans un triangle , le point appartient au segment et le point au segment . Les droites et sont parallèles. On donne cm, cm et cm. Calculer la longueur .
Voir l'exercice corrigéLes droites et sont sécantes en . Le point appartient au segment et le point au segment . On sait que est parallèle à et que cm, cm, cm. Calculer la longueur .
Voir l'exercice corrigéUn club de sport possède un petit fanion triangulaire dont les côtés mesurent cm, cm et cm. Pour en faire une grande banderole, on réalise un agrandissement de ce triangle dans lequel le plus grand côté, cm, devient cm. Déterminer le coefficient d'agrandissement, puis calculer le périmètre de la banderole.
Voir l'exercice corrigéLes droites et se coupent en . Les points et sont de part et d'autre de , de même que et : le point est donc situé entre les droites et . On sait que est parallèle à et que cm, cm, cm et cm. Calculer la longueur .
Voir l'exercice corrigéPour estimer la hauteur d'un arbre sans grimper, on plante un piquet vertical à côté de lui et on mesure les ombres au même instant. Les rayons du soleil étant parallèles, on obtient la configuration de Thalès suivante : le point est l'extrémité des deux ombres, est le pied du piquet, le pied de l'arbre, le sommet du piquet et le sommet de l'arbre. Ainsi , les points , , sont alignés (sur le sol) et les points , , sont alignés (le long du rayon). On mesure l'ombre du piquet m, l'ombre de l'arbre m et la hauteur du piquet m. Calculer la hauteur de l'arbre.
Voir l'exercice corrigéPour mesurer la largeur d'une rivière sans la traverser, un géomètre repère sur la rive opposée un arbre , juste en face d'un repère situé sur sa rive. Il s'éloigne ensuite le long de la rive en ligne droite jusqu'à un point , puis plante un piquet entre et . En se plaçant correctement, il fait en sorte que les points , et un dernier piquet soient alignés, étant sur la rive et tel que soit parallèle à . On a ainsi deux droites sécantes en : la droite (le long de la rive) et la droite (la visée). On mesure m, m et le long de la rive m. En réalité on cherche , la largeur de la rivière. Sachant que , calculer la largeur de la rivière.
Voir l'exercice corrigéLes points , , sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points , , . On donne cm, cm, cm et cm. Démontrer que les droites et sont parallèles.
Voir l'exercice corrigéDans un parc, deux allées rectilignes se croisent au point . Sur la première allée se trouvent une fontaine et un banc , situés de part et d'autre de . Sur la seconde allée se trouvent une statue et un chêne , eux aussi de part et d'autre de . Le point est donc situé entre les segments et : c'est une configuration papillon. Deux massifs de fleurs longent les segments et , qui sont parallèles. On a mesuré m, m, m et m. 1) Calculer la longueur . 2) Calculer la longueur . 3) En déduire le périmètre du triangle .
Voir l'exercice corrigéUn architecte réalise la maquette d'une maison à l'échelle : cela signifie que chaque longueur de la maquette est fois plus petite que la longueur réelle correspondante. Sur la maquette, la façade avant est un rectangle de hauteur cm et de largeur cm. 1) Calculer, en mètres, la hauteur réelle et la largeur réelle de la façade. 2) Calculer, en mètres carrés, l'aire réelle de cette façade. 3) On note l'aire de la façade sur la maquette et son aire réelle. Par quel nombre faut-il multiplier pour obtenir ?
Voir l'exercice corrigéDans un triangle , le point appartient au segment et le point au segment . On donne cm, cm, cm et cm. Les droites et sont-elles parallèles ? Justifier.
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