Troisième · Chapitre 16

Les transformations du plan

Cours de Troisième sur les transformations (brevet) : symétrie axiale et centrale, translation, rotation, homothétie de rapport k et propriétés conservées. Avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Cycle 4 - classe de troisième · Mis à jour en juin 2026

Faire glisser un motif sur une frise, retourner une figure comme dans un miroir, agrandir un plan à l’échelle : toutes ces actions sont des transformations du plan. Une transformation associe à chaque point une image, en suivant une règle précise. Au brevet, on en retient cinq : les deux symétries (axiale et centrale), la translation, la rotation et l’homothétie. L’enjeu est de savoir reconnaître chacune et de connaître ce qu’elle conserve ou modifie.

Symétrie axiale (par rapport à une droite)

La symétrie axiale d’axe une droite $(d)$ transforme un point $M$ en son image $M'$ telle que $(d)$ soit la médiatrice du segment $[MM']$ .

Concrètement, $(d)$ agit comme un miroir : $M$ et $M'$ sont à la même distance de l’axe, de part et d’autre. Un point situé sur l’axe est sa propre image.

Symétrie centrale (par rapport à un point)

La symétrie centrale de centre un point $O$ transforme un point $M$ en son image $M'$ telle que $O$ soit le milieu du segment $[MM']$ .

C’est exactement un demi-tour (une rotation d’un demi-tour) autour de $O$ . Le centre $O$ est son propre image.

Par la symétrie de centre O, chaque sommet et son image sont alignés avec O, qui est le milieu du segment.

Symétrie centrale dans un repère

Dans un repère, l’image de $M(x\,;\,y)$ par la symétrie de centre $O(x_O\,;\,y_O)$ est le point :

$M'\left(2x_O - x\,;\,2y_O - y\right)$

car $O$ doit être le milieu de $[MM']$ : ses coordonnées sont la moyenne de celles de $M$ et $M'$ .

En particulier, si le centre est l’origine $O(0\,;\,0)$ , alors $M'(-x\,;\,-y)$ .

Translation

Une translation glisse tous les points du plan de la même façon : selon une même direction, un même sens et une même longueur (on parle du « glissement » donné par une flèche).

Si la translation transforme $A$ en $B$ , elle transforme tout point $M$ en $M'$ de telle sorte que $ABM'M$ soit un parallélogramme : tous les points sont déplacés du même « glissement ».

Translation dans un repère

Dans un repère, une translation revient à ajouter les mêmes nombres aux coordonnées de chaque point.

Si une translation ajoute $a$ aux abscisses et $b$ aux ordonnées, alors l’image de $M(x\,;\,y)$ est :

$M'\left(x + a\,;\,y + b\right)$

On trouve $a$ et $b$ grâce à un point dont on connaît l’image : ce sont les différences de coordonnées entre le point et son image.

Rotation

Une rotation est définie par trois éléments : un centre $O$ , un angle et un sens (sens des aiguilles d’une montre, ou sens contraire).

Elle fait tourner chaque point $M$ autour de $O$ d’un même angle : l’image $M'$ vérifie $OM' = OM$ (même distance au centre) et l’angle $\widehat{MOM'}$ est égal à l’angle de la rotation. Le centre $O$ est son propre image.

La symétrie centrale est le cas particulier d’une rotation d’un demi-tour (angle de $180°$ ).

Homothétie de centre O et de rapport k

Une homothétie est définie par un centre $O$ et un nombre $k$ appelé rapport ( $k \neq 0$ ). Elle transforme un point $M$ en $M'$ aligné avec $O$ et $M$ , tel que la distance au centre soit multipliée par $|k|$ : $OM' = |k| \times OM$ .

Si $k > 0$ , l’image $M'$ est du même côté de $O$ que $M$ .
Si $k < 0$ , l’image $M'$ est de l’autre côté de $O$ (comme un demi-tour combiné à l’agrandissement).
Le cas $k = -1$ redonne la symétrie centrale de centre $O$ .

Homothétie : effet sur les longueurs

Par une homothétie de rapport $k$ , toutes les longueurs de la figure sont multipliées par $|k|$ :

$\text{longueur image} = |k| \times \text{longueur de départ}$

si $|k| > 1$ , la figure est agrandie ;
si $0 < |k| < 1$ , la figure est réduite ;
si $|k| = 1$ , les longueurs sont conservées.

L’homothétie produit une figure de même forme (les angles sont conservés) : c’est un agrandissement ou une réduction à l’échelle $|k|$ .

Homothétie : effet sur le périmètre et l'aire

Comme toutes les longueurs sont multipliées par $|k|$ :

le périmètre est multiplié par $|k|$ ;
l’aire est multipliée par $k^2$ (le carré du rapport), car une aire combine deux longueurs.

Par exemple, un rapport $k = 3$ multiplie le périmètre par $3$ mais l’aire par $3^2 = 9$ .

Ce que conservent les transformations

Transformation	Longueurs	Angles	Alignement / parallélisme
Symétrie axiale	conservées	conservés	conservés
Symétrie centrale	conservées	conservés	conservés
Translation	conservées	conservés	conservés
Rotation	conservées	conservés	conservés
Homothétie (rapport $k$ )	× $\lvert k\rvert$	conservés	conservés

Les symétries, la translation et la rotation sont des isométries : elles conservent toutes les longueurs. L’homothétie conserve les angles et la forme, mais multiplie les longueurs par $|k|$ .

Reconnaître une transformation entre deux figures

Les deux figures ont-elles la même taille (longueurs identiques) ?
- Non (l’une est un agrandissement/réduction de l’autre) $\Rightarrow$ homothétie : le rapport $|k|$ est le quotient d’une longueur image par la longueur correspondante de départ.
- Oui $\Rightarrow$ c’est une isométrie, on continue.
La figure a-t-elle été retournée (effet miroir, orientation inversée) ?
- Oui $\Rightarrow$ symétrie axiale : l’axe est la médiatrice de $[MM']$ pour deux points correspondants.
- Non, on continue.
La figure a-t-elle simplement glissé sans tourner ?
- Oui $\Rightarrow$ translation.
- Non, elle a tourné $\Rightarrow$ rotation (ou symétrie centrale si c’est un demi-tour).

Les pièges à éviter

Confondre les centres et axes : une symétrie axiale se fait par rapport à une droite, une symétrie centrale par rapport à un point. Ne pas dire « symétrie par rapport au point $(d)$ ».
Oublier que l’homothétie change les longueurs : seule l’homothétie modifie les longueurs (× $|k|$ ) ; les symétries, la translation et la rotation les conservent.
Confondre l’effet sur l’aire : l’aire est multipliée par $k^2$ , pas par $k$ . Un agrandissement de rapport $2$ quadruple l’aire ( $2^2 = 4$ ).
Mauvais signe en symétrie centrale : l’image de $M(x\,;\,y)$ par la symétrie de centre $O$ est $M'(2x_O - x\,;\,2y_O - y)$ , et non $(x_O - x\,;\,y_O - y)$ .

Un rectangle a pour dimensions une longueur $L = 6$ cm et une largeur $\ell = 4$ cm. On lui applique une homothétie de rapport $k = 2{,}5$ . Déterminer le périmètre et l'aire du rectangle image, et préciser par quel facteur chacun est multiplié.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre symétrie axiale et symétrie centrale ?

La symétrie axiale est une symétrie par rapport à une droite (un axe) : elle agit comme un miroir et retourne la figure. La symétrie centrale est une symétrie par rapport à un point (le centre) : elle équivaut à un demi-tour autour de ce point. Dans les deux cas, la figure image a exactement les mêmes longueurs et les mêmes angles que la figure de départ.

Comment trouver l'image d'un point par une translation dans un repère ?

Une translation glisse tous les points de la même façon, selon une direction, un sens et une longueur. Dans un repère, on ajoute les mêmes nombres aux coordonnées : si la translation transforme un point connu en ajoutant a à l'abscisse et b à l'ordonnée, alors l'image de M(x ; y) est le point M'(x + a ; y + b).

Que multiplie une homothétie de rapport k ?

Une homothétie de centre O et de rapport k multiplie toutes les distances au centre par la valeur absolue de k. Sur la figure, toutes les longueurs sont multipliées par |k| : c'est un agrandissement si |k| est supérieur à 1, une réduction si |k| est compris entre 0 et 1. Le périmètre est lui aussi multiplié par |k|, mais l'aire est multipliée par k au carré.