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Rêves Vision
Première STMG

Optimiser le bénéfice d'une entreprise

Énoncé

Une entreprise vend xx centaines d'articles par semaine. Son bénéfice hebdomadaire, en euros, est modélisé par B(x)=−x2+60x−200B(x) = -x^{2} + 60x - 200 pour 0≤x≤600 \le x \le 60. Déterminer la quantité d'articles qui rend le bénéfice maximal, puis calculer ce bénéfice maximal.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le bénéfice est maximal là où sa dérivée s'annule en changeant de signe : commence par calculer B′(x)B'(x).
  2. Résous B′(x)=0B'(x) = 0 pour trouver la valeur de xx candidate, puis vérifie que B′B' passe bien du positif au négatif (signe d'un maximum).
  3. Une fois la quantité optimale trouvée, calcule BB de cette valeur pour obtenir le bénéfice maximal. N'oublie pas que xx est exprimé en centaines d'articles.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la fonction dérivée

    On dérive terme à terme : (−x2)′=−2x\left(-x^{2}\right)' = -2x, (60x)′=60\left(60x\right)' = 60 et (−200)′=0.\left(-200\right)' = 0. Donc B′(x)=−2x+60.B'(x) = -2x + 60.

  2. 2. Résoudre B prime de x égale 0

    On résout −2x+60=0-2x + 60 = 0, soit −2x=−60-2x = -60, donc x=−60−2=30.x = \dfrac{-60}{-2} = 30. La dérivée s'annule pour x=30.x = 30.

  3. 3. Étudier le signe de la dérivée

    B′(x)=−2x+60B'(x) = -2x + 60 est une fonction affine de coefficient directeur négatif : elle est positive avant 3030 et négative après 30.30. Pour x<30x < 30, B′(x)>0B'(x) > 0 donc BB est croissante ; pour x>30x > 30, B′(x)<0B'(x) < 0 donc BB est décroissante. La dérivée passe du positif au négatif en 3030 : c'est bien un maximum.

  4. 4. Calculer le bénéfice maximal

    On calcule B(30)=−302+60×30−200=−900+1 800−200=700.B(30) = -30^{2} + 60 \times 30 - 200 = -900 + 1\,800 - 200 = 700.

  5. 5. Conclure

    Le bénéfice est maximal pour x=30x = 30, c'est-à-dire 3 0003\,000 articles par semaine, et il vaut alors 700700 euros. Produire davantage ferait baisser le bénéfice, puisque la dérivée devient négative au-delà de 30.30.
Réponse finale
B′(x)=−2x+60=0⇒x=30 (3 000 articles),B(30)=700 euros (maximum)B'(x) = -2x + 60 = 0 \Rightarrow x = 30 \ (3\,000 \text{ articles}), \quad B(30) = 700 \text{ euros (maximum)}
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