Première STMG · Chapitre 5

La dérivation : nombre dérivé, tangente et variations

Cours de Première STMG sur la dérivation : taux de variation, nombre dérivé, tangente, fonction dérivée, dérivées usuelles et lien entre signe de la dérivée et variations. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STMG - programme commun technologique 2026 (BO 2 avril 2026) · Mis à jour en juin 2026

En gestion, on ne se contente pas de connaître un coût ou un bénéfice : on veut savoir comment il évolue. Le coût augmente-t-il vite quand on produit une unité de plus ? À partir de quelle quantité le bénéfice se met-il à baisser ? La dérivation est l’outil mathématique qui mesure la vitesse d’évolution d’une fonction, point par point. Elle relie une idée géométrique (la pente d’une tangente) à une idée concrète (le sens de variation), et c’est ce lien qui en fait l’outil central de l’optimisation.

Ce que tu sauras faire

Je sais calculer un taux de variation entre deux points et l’interpréter.
Je sais ce qu’est le nombre dérivé $f'(a)$ et que c’est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $a$ .
Je sais écrire l’équation de la tangente $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Je connais les dérivées usuelles ( $x^{n}$ , constantes) et je sais dériver une fonction polynôme avec les règles $ku$ et $u + v$ .
Je sais lier le signe de $f'$ au sens de variation de $f$ et trouver les extremums.

À quoi ça sert ?

Imagine que tu diriges un atelier. Ton coût total dépend du nombre d’objets fabriqués. Produire le $100^\text{e}$ objet ne coûte pas la même chose que produire le $1000^\text{e}$ : ce coût supplémentaire, c’est le coût marginal, et c’est exactement un nombre dérivé. De même, ton bénéfice monte d’abord puis finit par redescendre quand tu produis trop. Le sommet de cette courbe, là où le bénéfice est maximal, est précisément l’endroit où la dérivée s’annule. La dérivation, c’est l’outil qui transforme « je vois que ça monte puis ça descend » en une décision chiffrée.

Du taux de variation au nombre dérivé

Taux de variation

Le taux de variation d’une fonction $f$ entre deux nombres $a$ et $b$ (avec $a \ne b$ ) est le quotient : $\tau = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ Il mesure la variation moyenne de $f$ entre $a$ et $b$ . Géométriquement, c’est le coefficient directeur de la droite (la sécante) qui passe par les deux points de la courbe d’abscisses $a$ et $b$ .

Nombre dérivé

Lorsque $b$ se rapproche de $a$ , les sécantes se rapprochent d’une droite limite appelée tangente, et le taux de variation se rapproche d’un nombre fixe : ce nombre est le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ (on lit « $f$ prime de $a$ »). C’est la vitesse d’évolution instantanée de $f$ au point d’abscisse $a$ .

Interprétation géométrique : le coefficient directeur de la tangente

Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ .

Si $f'(a) > 0$ , la tangente monte : la fonction est en train de croître en $a$ .
Si $f'(a) < 0$ , la tangente descend : la fonction est en train de décroître en $a$ .
Si $f'(a) = 0$ , la tangente est horizontale : c’est souvent un sommet ou un creux de la courbe.

L’équation de la tangente

Équation de la tangente au point d'abscisse a

La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation : $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$ Pour l’écrire, il suffit donc de calculer deux nombres : la hauteur du point de contact $f(a)$ et le coefficient directeur $f'(a)$ .

Écrire l'équation d'une tangente

Calculer $f(a)$ : c’est l’ordonnée du point de contact.
Calculer la fonction dérivée $f'$ , puis le nombre dérivé $f'(a)$ : c’est le coefficient directeur.
Remplacer dans $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Développer et réduire pour obtenir une équation de la forme $y = mx + p$ .

La fonction dérivée et les dérivées usuelles

Fonction dérivée

Quand on sait calculer le nombre dérivé $f'(a)$ pour n’importe quelle valeur $a$ , on obtient une nouvelle fonction qui, à chaque $x$ , associe $f'(x)$ : c’est la fonction dérivée de $f$ , notée $f'$ . Dériver une fonction, c’est trouver l’expression de $f'(x)$ .

Dérivées usuelles

Voici les dérivées à connaître par cœur (avec $k$ un nombre fixe et $n$ un entier) :

dérivée d’une constante : $\left(k\right)' = 0$
dérivée de $x$ : $\left(x\right)' = 1$
dérivée de $x^{2}$ : $\left(x^{2}\right)' = 2x$
dérivée de $x^{3}$ : $\left(x^{3}\right)' = 3x^{2}$
cas général de $x^{n}$ : $\left(x^{n}\right)' = n\,x^{n-1}$

La règle générale $\left(x^{n}\right)' = n\,x^{n-1}$ contient toutes les autres : on descend l’exposant devant et on diminue l’exposant de $1$ .

Opérations : multiplier par un nombre, additionner

Pour dériver une fonction polynôme, on combine deux règles, où $u$ et $v$ sont des fonctions et $k$ un nombre : $\left(k\,u\right)' = k\,u' \qquad\qquad \left(u + v\right)' = u' + v'$ Autrement dit : un facteur constant se conserve, et la dérivée d’une somme est la somme des dérivées. On dérive donc chaque terme du polynôme séparément.

Dériver un polynôme terme à terme

Dérivons $f(x) = 3x^{2} - 5x + 7$ .

Le terme $3x^{2}$ a pour dérivée $3 \times 2x = 6x$ .
Le terme $-5x$ a pour dérivée $-5 \times 1 = -5$ .
Le terme constant $7$ a pour dérivée $0$ .

On additionne : $f'(x) = 6x - 5$ . On a bien dérivé chaque terme puis tout réuni.

Signe de la dérivée et sens de variation

Le signe de f prime donne le sens de variation

Sur un intervalle :

si $f'(x) > 0$ , alors $f$ est croissante ;
si $f'(x) < 0$ , alors $f$ est décroissante ;
si $f'(x) = 0$ sur tout l’intervalle, alors $f$ est constante.

Pour connaître les variations de $f$ , on étudie donc le signe de $f'(x)$ , puis on le reporte dans un tableau de variation.

Dresser un tableau de variation

Calculer la fonction dérivée $f'(x)$ .
Résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver les valeurs qui annulent la dérivée.
Étudier le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle (par exemple à l’aide du signe d’un produit ou d’un trinôme).
En déduire les variations de $f$ : flèche montante quand $f' > 0$ , descendante quand $f' < 0$ , et calculer les valeurs de $f$ aux bornes et aux extremums.

Extremum (maximum ou minimum local)

Un extremum local est un sommet (maximum) ou un creux (minimum) de la courbe. La fonction admet un extremum là où sa dérivée s’annule en changeant de signe :

$f'$ passe de positif à négatif : la fonction passe de croissante à décroissante, c’est un maximum.
$f'$ passe de négatif à positif : la fonction passe de décroissante à croissante, c’est un minimum.

C’est cette idée qui permet, en gestion, de trouver la quantité qui maximise un bénéfice ou minimise un coût.

Le bon réflexe pour optimiser

Pour trouver le maximum (ou le minimum) d’une grandeur en gestion : on dérive, on résout $f'(x) = 0$ , puis on vérifie le changement de signe de $f'$ . La valeur de $x$ trouvée est la quantité optimale, et $f$ de cette valeur donne le bénéfice maximal (ou le coût minimal) cherché.

Les pièges classiques

FAUX : la dérivée de $x^{3}$ est $3x$ . VRAI : on descend l’exposant et on le diminue de $1$ , donc $\left(x^{3}\right)' = 3x^{2}$ .
FAUX : la dérivée d’une constante comme $7$ est $7$ . VRAI : la dérivée d’une constante est $0$ (une fonction constante ne varie pas).
FAUX : la dérivée de $5x$ est $0$ . VRAI : $\left(5x\right)' = 5$ (le coefficient reste, c’est $x$ qui se dérive en $1$ ).
FAUX : $f'(a) > 0$ signifie que $f(a)$ est grand. VRAI : $f'(a) > 0$ signifie seulement que $f$ croît en $a$ ; cela ne dit rien sur la valeur de $f(a)$ .
FAUX : la fonction admet un extremum dès que $f'$ s’annule. VRAI : il faut que $f'$ change de signe ; si $f'$ s’annule sans changer de signe, il n’y a pas d’extremum.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Coût marginal : taux de variation d'un coût

Une entreprise fabrique des lampes. Le coût total de production, en euros, pour $x$ lampes est donné par $C(x) = 0{,}1x^{2} + 5x + 200$ . Calculer le taux de variation du coût lorsque la production passe de $20$ à $30$ lampes, puis interpréter le résultat.

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Dériver une fonction du second degré

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4x^{2} - 7x + 3$ . Déterminer sa fonction dérivée $f'(x)$ .

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Dériver une fonction polynôme du troisième degré

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^{3} - 5x^{2} + 3x - 8$ . Déterminer sa fonction dérivée $f'(x)$ .

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Équation de la tangente à une parabole

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{2} - 4x + 1$ . On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a = 3$ .

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Vitesse d'évolution d'une recette

Le chiffre d'affaires mensuel d'une jeune entreprise, en milliers d'euros, est modélisé par $R(t) = -t^{2} + 14t + 120$ , où $t$ est le nombre de mois écoulés depuis l'ouverture (avec $0 \le t \le 14$ ). Calculer $R'(2)$ et $R'(10)$ , puis interpréter chacun de ces deux nombres dérivés.

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Bonus

Minimiser un coût de production (bonus)

Une usine produit $x$ centaines de pièces par jour. Son coût total de production, en euros, est modélisé par $C(x) = 0{,}5x^{2} - 20x + 600$ pour $0 \le x \le 40$ . Déterminer la quantité de pièces qui rend le coût minimal, puis calculer ce coût minimal.

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Optimiser le bénéfice d'une entreprise

Une entreprise vend $x$ centaines d'articles par semaine. Son bénéfice hebdomadaire, en euros, est modélisé par $B(x) = -x^{2} + 60x - 200$ pour $0 \le x \le 60$ . Déterminer la quantité d'articles qui rend le bénéfice maximal, puis calculer ce bénéfice maximal.

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Tableau de variation d'une fonction du troisième degré

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 5$ . Étudier le signe de la dérivée, dresser le tableau de variation de $f$ et préciser ses extremums.

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Questions fréquentes

À quoi sert le nombre dérivé en gestion ?

Le nombre dérivé d'une fonction en un point mesure la vitesse à laquelle cette fonction varie à cet endroit. En gestion, si la fonction décrit un coût total, le nombre dérivé donne le coût marginal, c'est-à-dire le coût supplémentaire engendré par une unité produite en plus. Si la fonction décrit un bénéfice, repérer là où le nombre dérivé s'annule permet de trouver la production qui rend le bénéfice maximal. Le nombre dérivé est donc l'outil de base pour optimiser une décision.

Comment trouve-t-on l'équation de la tangente à une courbe ?

La tangente à la courbe d'une fonction f au point d'abscisse a est la droite qui touche la courbe en ce point en suivant sa pente. Son équation est y égale f prime de a, multiplié par la quantité x moins a, le tout ajouté à f de a. Il suffit donc de calculer deux nombres : f de a, qui donne la hauteur du point de contact, et f prime de a, qui donne le coefficient directeur de la tangente. On remplace ensuite a par sa valeur et on simplifie.

Quel est le lien entre la dérivée et le sens de variation d'une fonction ?

Le signe de la fonction dérivée indique le sens de variation de la fonction de départ. Là où la dérivée est positive, la fonction est croissante. Là où la dérivée est négative, la fonction est décroissante. Là où la dérivée s'annule en changeant de signe, la fonction présente un extremum, c'est-à-dire un maximum ou un minimum local. Étudier le signe de la dérivée permet donc de dresser le tableau de variation complet de la fonction.