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Rêves Vision
Première STMG

Tableau de variation d'une fonction du troisième degré

Énoncé

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 5. Étudier le signe de la dérivée, dresser le tableau de variation de ff et préciser ses extremums.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le sens de variation de ff se lit dans le signe de f′(x)f'(x) : croissante là où f′(x)>0f'(x) > 0, décroissante là où f′(x)<0f'(x) < 0.
  2. Calcule f′(x)f'(x), puis résous f′(x)=0f'(x) = 0 pour trouver les valeurs qui annulent la dérivée. Tu peux factoriser : 3x2−6x−9=3(x2−2x−3)3x^{2} - 6x - 9 = 3(x^{2} - 2x - 3).
  3. Le trinôme x2−2x−3x^{2} - 2x - 3 se factorise en (x−3)(x+1)(x - 3)(x + 1). Étudie alors le signe du produit pour en déduire les variations, puis calcule ff aux deux extremums.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la fonction dérivée

    On dérive terme à terme : (x3)′=3x2\left(x^{3}\right)' = 3x^{2}, (−3x2)′=−6x\left(-3x^{2}\right)' = -6x, (−9x)′=−9\left(-9x\right)' = -9 et (5)′=0.\left(5\right)' = 0. Donc f′(x)=3x2−6x−9.f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9.

  2. 2. Résoudre f prime de x égale 0

    On factorise par 33 : f′(x)=3(x2−2x−3).f'(x) = 3\left(x^{2} - 2x - 3\right). Le trinôme x2−2x−3x^{2} - 2x - 3 se factorise en (x−3)(x+1)(x - 3)(x + 1) (somme des racines 22, produit −3-3). On a donc f′(x)=3(x−3)(x+1)f'(x) = 3(x - 3)(x + 1), qui s'annule pour x=−1x = -1 et x=3.x = 3.

  3. 3. Étudier le signe de la dérivée

    f′(x)=3(x−3)(x+1)f'(x) = 3(x - 3)(x + 1) est un produit du coefficient positif 33 par deux facteurs. C'est un trinôme de coefficient dominant positif : il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Donc f′(x)>0f'(x) > 0 sur ]−∞ ; −1[\left]-\infty\,;\, -1\right[ et sur ]3 ; +∞[\left]3\,;\, +\infty\right[, et f′(x)<0f'(x) < 0 sur ]−1 ; 3[.\left]-1\,;\, 3\right[.

  4. 4. Calculer les valeurs aux extremums

    On calcule f(−1)=(−1)3−3×(−1)2−9×(−1)+5=−1−3+9+5=10.f(-1) = (-1)^{3} - 3 \times (-1)^{2} - 9 \times (-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10. Puis f(3)=33−3×32−9×3+5=27−27−27+5=−22.f(3) = 3^{3} - 3 \times 3^{2} - 9 \times 3 + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22.

  5. 5. Dresser le tableau de variation et conclure

    On reporte le signe de f′f' : ff est croissante sur ]−∞ ; −1]\left]-\infty\,;\, -1\right], décroissante sur [−1 ; 3]\left[-1\,;\, 3\right], puis croissante sur [3 ; +∞[.\left[3\,;\, +\infty\right[. En x=−1x = -1, f′f' passe de positif à négatif : ff admet un maximum local égal à f(−1)=10f(-1) = 10. En x=3x = 3, f′f' passe de négatif à positif : ff admet un minimum local égal à f(3)=−22f(3) = -22.
Réponse finale
f′(x)=3(x−3)(x+1); maximum f(−1)=10 et minimum f(3)=−22f'(x) = 3(x - 3)(x + 1) ; \text{ maximum } f(-1) = 10 \text{ et minimum } f(3) = -22
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