Première STMG · Chapitre 6

Probabilités conditionnelles et indépendance

Cours de Première STMG sur les probabilités conditionnelles : arbre pondéré, tableau croisé, probabilités totales, événements indépendants. Exemples gestion et exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STMG - programme commun technologique 2026 (BO 2 avril 2026) · Mis à jour en juin 2026

En gestion, en marketing ou en contrôle qualité, on cherche souvent à mesurer une probabilité dans un sous-groupe précis : quelle est la part de clients satisfaits parmi ceux qui ont commandé en ligne ? Quelle est la probabilité qu’une pièce soit défectueuse sachant qu’elle vient de la machine A ? Ces questions relèvent des probabilités conditionnelles. On les organise avec des arbres pondérés et des tableaux croisés, et on apprend à reconnaître quand deux événements sont indépendants.

Ce que tu sauras faire

Je sais calculer une probabilité conditionnelle $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ .
Je sais construire et lire un arbre pondéré (règle du produit, somme des branches égale à $1$ ).
Je sais passer d’un tableau croisé d’effectifs à des fréquences et à des probabilités conditionnelles.
Je sais appliquer la formule des probabilités totales pour reconstituer $P(B)$ .
Je sais reconnaître deux événements indépendants avec $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ .

À quoi ça sert ?

Imagine que tu pilotes le service après-vente d’une boutique. Tu sais que $5\,\%$ de tes commandes donnent lieu à un retour. Mais cette information globale ne suffit pas : tu veux savoir si le taux de retour est plus élevé parmi les commandes livrées en retard. C’est exactement une probabilité conditionnelle. De même, un responsable qualité veut connaître la probabilité qu’une pièce soit défectueuse sachant qu’elle sort de telle machine, et un service marketing veut la part de clients qui rachètent parmi ceux qui ont reçu une offre. Conditionner, c’est zoomer sur un sous-groupe pour décider mieux.

Probabilité conditionnelle

Soit $A$ et $B$ deux événements avec $P(A) \neq 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_A(B)$ , est : $P_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ On se place à l’intérieur de $A$ : on ne regarde que les cas où $A$ est réalisé, puis on mesure la part de ces cas où $B$ l’est aussi. Le symbole $A\cap B$ (« $A$ inter $B$ ») désigne l’événement « $A$ et $B$ sont réalisés tous les deux ».

Règle du produit

En multipliant les deux membres par $P(A)$ , on obtient une relation très utile pour les arbres : $P(A\cap B) = P(A)\times P_A(B)$ La probabilité que $A$ et $B$ se produisent est le produit de la probabilité de $A$ par la probabilité de $B$ sachant $A$ . C’est exactement ce qu’on lit le long d’une branche d’arbre.

Calculer une probabilité conditionnelle

Identifier l’événement qui sert de condition (ce qui est « sachant ») : c’est lui qui va au dénominateur.
Calculer $P(A\cap B)$ , la probabilité que les deux événements se réalisent.
Diviser : $P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ .
Vérifier le sens : $P_A(B)$ est une proportion parmi les $A$ , elle est comprise entre $0$ et $1$ .

Tableau croisé d’effectifs

Lire des probabilités dans un tableau croisé

Un tableau croisé range une population selon deux critères (par exemple : type de commande $\times$ satisfaction). À partir des effectifs :

La probabilité d’un événement = effectif de la ligne ou colonne correspondante divisé par l’effectif total.
La probabilité de l’intersection = effectif de la case croisée divisé par l’effectif total.
La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ = effectif de la case croisée divisé par l’effectif de la ligne (ou colonne) de $A$ : on ne divise plus par le total, mais par le sous-groupe $A$ .

Une enquête de satisfaction

On interroge $200$ clients. $120$ ont commandé en ligne, dont $96$ sont satisfaits ; parmi les $80$ clients en magasin, $52$ sont satisfaits. Soit $L$ : « avoir commandé en ligne » et $S$ : « être satisfait ».

$P(L) = \dfrac{120}{200} = 0{,}6$ et $P(L\cap S) = \dfrac{96}{200} = 0{,}48$ .
Part de satisfaits parmi les clients en ligne : $P_L(S) = \dfrac{96}{120} = 0{,}8$ .

On retrouve bien $P_L(S) = \dfrac{P(L\cap S)}{P(L)} = \dfrac{0{,}48}{0{,}6} = 0{,}8$ : les deux méthodes coïncident.

Arbre pondéré

Un arbre pondéré représente une expérience en deux étapes. Chaque branche porte une probabilité ; les branches issues d’un même noeud correspondent aux issues possibles à cette étape. À la deuxième étape, les probabilités sont conditionnelles (elles dépendent de la branche déjà suivie).

Les deux règles de l'arbre

Somme des branches : les probabilités des branches partant d’un même noeud ont pour somme $1$ (on est sûr de prendre l’une d’elles).
Règle du produit : la probabilité d’un chemin complet est le produit des probabilités des branches parcourues. Par exemple, le chemin $A$ puis $B$ a pour probabilité $P(A)\times P_A(B) = P(A\cap B)$ .

Construire et exploiter un arbre

Premier niveau de branches : les issues de la première étape, avec leurs probabilités (somme $= 1$ ).
À partir de chaque issue, deuxième niveau : les issues de la deuxième étape, avec leurs probabilités conditionnelles (somme $= 1$ sur chaque noeud).
Probabilité d’un chemin : on multiplie le long du chemin.
Probabilité d’un événement situé au deuxième niveau : on additionne les chemins qui y mènent.

Formule des probabilités totales

Probabilités totales (cas de deux issues)

Lorsque la première étape n’a que deux issues $A$ et son contraire $\overline{A}$ (« non $A$ »), tout événement $B$ se décompose selon ces deux cas : $P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B) = P(A)\times P_A(B) + P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)$ Autrement dit, on additionne les probabilités de tous les chemins de l’arbre qui aboutissent à $B$ . Cette formule permet de reconstituer $P(B)$ à partir de l’arbre.

Contrôle qualité sur deux machines

Une usine fabrique des pièces avec deux machines. La machine $A$ produit $70\,\%$ des pièces, la machine $B$ les $30\,\%$ restants. La machine $A$ fournit $2\,\%$ de pièces défectueuses, la machine $B$ en fournit $5\,\%$ . Soit $D$ : « la pièce est défectueuse ». L’arbre donne : $P(D) = P(A)\times P_A(D) + P(B)\times P_B(D) = 0{,}7\times 0{,}02 + 0{,}3\times 0{,}05$ $P(D) = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029$ La proportion globale de pièces défectueuses est donc $0{,}029$ , soit un taux de $2{,}9\,\%$ .

Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque : $P(A\cap B) = P(A)\times P(B)$ Cela revient à dire que $P_A(B) = P(B)$ (quand $P(A)\neq 0$ ) : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$ . La réalisation de l’un n’apporte aucune information sur l’autre.

Tester l'indépendance de deux événements

Calculer séparément $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A\cap B)$ .
Calculer le produit $P(A)\times P(B)$ .
Comparer : si $P(A\cap B) = P(A)\times P(B)$ , les événements sont indépendants ; sinon ils ne le sont pas.

On peut aussi comparer $P_A(B)$ et $P(B)$ : l’égalité caractérise aussi l’indépendance.

Indépendant n'est pas incompatible

Ne pas confondre deux mots qui se ressemblent. Incompatibles signifie que $A$ et $B$ ne peuvent pas se produire ensemble : $P(A\cap B) = 0$ . Indépendants signifie que l’un n’influence pas l’autre : $P(A\cap B) = P(A)\times P(B)$ . Deux événements de probabilités non nulles qui sont incompatibles ne sont jamais indépendants.

Les pièges classiques

FAUX : confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ . VRAI : $P_A(B)$ se lit « $B$ sachant $A$ » et divise par $P(A)$ ; $P_B(A)$ se lit « $A$ sachant $B$ » et divise par $P(B)$ . Ce sont en général deux nombres différents.
FAUX : pour $P_A(B)$ , diviser $P(A\cap B)$ par l’effectif total. VRAI : on divise par $P(A)$ (le sous-groupe), pas par le total.
FAUX : croire que les probabilités de toutes les branches d’un arbre font $1$ . VRAI : seule la somme des branches issues d’un même noeud vaut $1$ .
FAUX : additionner les probabilités le long d’un chemin. VRAI : le long d’un chemin on multiplie ; on additionne seulement entre chemins différents menant au même événement.
FAUX : penser qu’incompatibles veut dire indépendants. VRAI : incompatibles, c’est $P(A\cap B) = 0$ ; indépendants, c’est $P(A\cap B) = P(A)\times P(B)$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Probabilité conditionnelle par la formule

On considère deux événements $A$ et $B$ tels que $P(A) = 0{,}5$ et $P(A\cap B) = 0{,}2$ . Calculer la probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_A(B)$ .

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Satisfaction des clients et tableau croisé

Une boutique interroge $250$ clients sur leur satisfaction. Parmi eux, $150$ sont des clients habitués et $100$ sont de nouveaux clients. On apprend que $120$ habitués se déclarent satisfaits. On choisit un client au hasard. On note $H$ : « le client est un habitué » et $S$ : « le client est satisfait ». Calculer la probabilité que le client soit satisfait sachant qu'il est habitué, $P_H(S)$ .

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Campagne marketing et arbre pondéré

Un site de vente envoie une offre promotionnelle par e-mail. La probabilité qu'un client ouvre l'e-mail est $0{,}4$ . Parmi les clients qui ouvrent l'e-mail, la probabilité qu'ils passent une commande est $0{,}3$ . On note $O$ : « le client ouvre l'e-mail » et $C$ : « le client passe commande ». Déterminer la probabilité qu'un client ouvre l'e-mail et passe commande, $P(O\cap C)$ .

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Contrôle qualité sur deux machines

Un atelier fabrique des pièces avec deux machines. La machine $A$ produit $60\,\%$ des pièces et la machine $B$ le reste. La machine $A$ produit $3\,\%$ de pièces défectueuses, la machine $B$ en produit $8\,\%$ . On prélève une pièce au hasard dans la production. On note $A$ : « la pièce vient de la machine A », $B$ : « la pièce vient de la machine B » et $D$ : « la pièce est défectueuse ». Calculer la probabilité $P(D)$ qu'une pièce prélevée soit défectueuse.

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Enquête sur le mode de commande

Une entreprise étudie $400$ commandes selon le mode de livraison et la présence d'un retour. Le tableau croisé donne les effectifs : commandes en ligne : $240$ , dont $36$ ont fait l'objet d'un retour ; commandes en magasin : $160$ , dont $16$ ont fait l'objet d'un retour. On choisit une commande au hasard. On note $E$ : « commande en ligne » et $R$ : « commande retournée ». 1) Calculer $P(R)$ . 2) Calculer $P_E(R)$ , la probabilité qu'une commande soit retournée sachant qu'elle a été passée en ligne.

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Bonus

Arbre complet, probabilités totales et indépendance

Soit $A$ et $B$ deux événements. On donne $P(A) = 0{,}6$ , $P_A(B) = 0{,}5$ et $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}5$ . 1) Calculer $P(B)$ à l'aide de la formule des probabilités totales. 2) Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.

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Taux de retour et probabilité inversée

Un grossiste reçoit ses articles de deux fournisseurs. Le fournisseur $A$ livre $80\,\%$ des articles, le fournisseur $B$ les $20\,\%$ restants. Un article du fournisseur $A$ est retourné par le client avec une probabilité $0{,}05$ ; un article du fournisseur $B$ est retourné avec une probabilité $0{,}10$ . On note $A$ , $B$ et $R$ (« l'article est retourné »). 1) Calculer $P(R)$ . 2) Un article est retourné : calculer la probabilité $P_R(B)$ qu'il provienne du fournisseur $B$ .

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Tester l'indépendance de deux événements

Dans un fichier de $500$ clients, on étudie deux caractères : posséder la carte de fidélité (événement $F$ ) et avoir acheté pendant les soldes (événement $V$ ). On relève : $200$ clients possèdent la carte de fidélité, $250$ clients ont acheté pendant les soldes, et $100$ clients possèdent la carte et ont acheté pendant les soldes. Les événements $F$ et $V$ sont-ils indépendants ?

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle ?

La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée P de B sachant A, est la probabilité que l'événement B se réalise quand on sait déjà que l'événement A est réalisé. On la calcule en divisant la probabilité de l'intersection de A et de B par la probabilité de A. Elle exprime une proportion à l'intérieur de A seulement : on se restreint aux cas où A est vrai, puis on regarde la part de ces cas où B est vrai aussi.

Comment lit-on un arbre pondéré ?

Sur un arbre pondéré, chaque branche porte une probabilité. La probabilité d'un chemin complet s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long de ce chemin : c'est la règle du produit. Les probabilités des branches qui partent d'un même noeud ont toujours pour somme 1. Pour calculer la probabilité d'un événement, on additionne les probabilités de tous les chemins qui mènent à cet événement : c'est la formule des probabilités totales.

Que signifie que deux événements sont indépendants ?

Deux événements A et B sont indépendants quand la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre. Concrètement, A et B sont indépendants lorsque la probabilité de l'intersection de A et de B est égale au produit de la probabilité de A par la probabilité de B. De façon équivalente, P de B sachant A est alors égale à la probabilité de B : savoir que A est réalisé n'apporte aucune information sur B.