Première STMG · Chapitre 4

Le second degré : fonction polynôme du second degré

Cours de Première STMG sur la fonction polynôme du second degré : forme canonique, sommet, forme factorisée, racines, variations, signe et optimisation d'un bénéfice. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première STMG - programme commun technologique 2026 (BO 2 avril 2026) · Mis à jour en juin 2026

En gestion, beaucoup de situations ne sont pas proportionnelles : quand une entreprise augmente son prix de vente, ses recettes montent d’abord puis finissent par baisser parce que les clients achètent moins. Ce genre de comportement « qui monte puis qui descend » se modélise très bien par une fonction polynôme du second degré, dont la courbe est une parabole. Savoir lire son sommet, ses racines et son signe, c’est savoir trouver un bénéfice maximal, un prix optimal ou un seuil de rentabilité.

Ce que tu sauras faire

Je reconnais une fonction du second degré sous sa forme développée $f(x) = ax^{2} + bx + c$ .
Je sais passer à la forme canonique $a(x - \alpha)^{2} + \beta$ et lire le sommet $S(\alpha\,;\beta)$ .
Je sais utiliser la forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ pour trouver les racines.
Je sais dresser le tableau de variations et le tableau de signe du trinôme.
Je sais résoudre graphiquement et optimiser un bénéfice dans un contexte de gestion.

À quoi ça sert ?

Imagine que tu fixes le prix d’un produit dans une boutique. Si le prix est trop bas, tu vends beaucoup mais tu gagnes peu sur chaque article ; s’il est trop haut, tu gagnes beaucoup par article mais tu vends peu. Entre les deux, il existe un prix idéal qui rend ton bénéfice maximal : c’est exactement l’abscisse du sommet de la parabole du bénéfice. De la même façon, les racines te donnent les deux prix entre lesquels tu es rentable. Le second degré est l’outil de base de l’optimisation en gestion.

Reconnaître une fonction du second degré

Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ qui peut s’écrire sous la forme développée : $f(x) = ax^{2} + bx + c$ où $a$ , $b$ et $c$ sont des nombres réels et, impérativement, $a \neq 0$ . Le nombre $a$ est le coefficient dominant, $b$ le coefficient de $x$ et $c$ le terme constant (qui est aussi l’ordonnée à l’origine, car $f(0) = c$ ).

La courbe est une parabole

La courbe représentative d’une fonction du second degré est une parabole.

Si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut (en forme de vallée) : elle possède un point le plus bas.
Si $a < 0$ , la parabole est tournée vers le bas (en forme de colline) : elle possède un point le plus haut.

Ce point extrême s’appelle le sommet de la parabole. La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale qui passe par son sommet.

Forme canonique et sommet

Forme canonique et coordonnées du sommet

Toute fonction du second degré peut s’écrire sous la forme canonique : $f(x) = a(x - \alpha)^{2} + \beta$ Les coordonnées du sommet $S$ de la parabole se lisent alors directement : $S(\alpha\,;\beta) \qquad \text{avec} \qquad \alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha)$ L’abscisse $\alpha$ du sommet est aussi l’axe de symétrie de la parabole.

Trouver le sommet à partir de la forme développée

On part de $f(x) = ax^{2} + bx + c$ .

Calculer l’abscisse du sommet : $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ .
Calculer l’ordonnée du sommet en remplaçant $x$ par $\alpha$ : $\beta = f(\alpha)$ .
Conclure : le sommet est le point $S(\alpha\,;\beta)$ .

La forme canonique est alors $f(x) = a(x - \alpha)^{2} + \beta$ .

Un calcul de sommet

Soit $f(x) = 2x^{2} - 12x + 23$ . On a $a = 2$ , $b = -12$ , $c = 23$ . $\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3$ $\beta = f(3) = 2 \times 3^{2} - 12 \times 3 + 23 = 18 - 36 + 23 = 5$ Le sommet est donc $S(3\,;5)$ et la forme canonique est $f(x) = 2(x - 3)^{2} + 5$ . Comme $a = 2 > 0$ , ce sommet est un minimum : $f$ ne descend jamais en dessous de $5$ .

Sens de variation

Variations selon le signe de a

Le sens de variation d’une fonction du second degré dépend uniquement du signe de $a$ , et le changement de sens se produit toujours au sommet d’abscisse $\alpha$ .

Si $a > 0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha\,;+\infty[$ . Le sommet est un minimum, d’ordonnée $\beta$ .
Si $a < 0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha\,;+\infty[$ . Le sommet est un maximum, d’ordonnée $\beta$ .

Dresser le tableau de variations

Repérer le signe de $a$ (vallée si $a > 0$ , colline si $a < 0$ ).
Calculer l’abscisse du sommet $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et son ordonnée $\beta = f(\alpha)$ .
Tracer le tableau sur $\mathbb{R}$ avec une seule flèche descendante puis une montante (si $a > 0$ ), ou l’inverse (si $a < 0$ ), la valeur $\beta$ étant placée au sommet.

Forme factorisée et racines

Racines d'un trinôme

Une racine de $f$ est une valeur de $x$ qui annule la fonction, c’est-à-dire une solution de l’équation $f(x) = 0$ . Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses. Un trinôme peut avoir deux racines, une seule (sommet sur l’axe) ou aucune (parabole entièrement au-dessus ou au-dessous de l’axe).

Forme factorisée

Lorsque le trinôme admet deux racines $x_1$ et $x_2$ , il peut s’écrire sous la forme factorisée : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ Cette écriture est très pratique : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul, donc on lit directement les racines $x_1$ et $x_2$ .

Résoudre f(x) = 0 à partir de la forme factorisée

On part de $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
On résout donc $x - x_1 = 0$ , ce qui donne $x = x_1$ , puis $x - x_2 = 0$ , ce qui donne $x = x_2$ .
Les solutions de $f(x) = 0$ sont $x_1$ et $x_2$ (le facteur $a$ , non nul, ne donne aucune solution).

Le discriminant, un outil de calcul des racines

Quand on ne connaît pas la forme factorisée, on peut calculer les racines à partir de la forme développée à l’aide du discriminant $\Delta = b^{2} - 4ac$ :

si $\Delta > 0$ , il y a deux racines $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ ;
si $\Delta = 0$ , il y a une seule racine $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ ;
si $\Delta < 0$ , il n’y a aucune racine réelle.

En STMG, on privilégie cependant la forme canonique (pour le sommet) et la forme factorisée (pour les racines), qui sont souvent fournies ou faciles à obtenir.

Signe du trinôme

Signe d'un trinôme du second degré

Le signe de $f(x) = ax^{2} + bx + c$ dépend de ses racines et du signe de $a$ . Lorsque le trinôme a deux racines $x_1 < x_2$ :

$f(x)$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines (pour $x < x_1$ ou $x > x_2$ ) ;
$f(x)$ est du signe opposé à $a$ entre les racines (pour $x_1 < x < x_2$ ) ;
$f(x)$ s’annule en $x_1$ et en $x_2$ .

Une formule à retenir : le trinôme est du signe de $a$ partout, sauf entre les racines.

Dresser le tableau de signe

Déterminer les racines $x_1$ et $x_2$ (forme factorisée, ou discriminant).
Les ranger dans l’ordre croissant et les placer sur la ligne des $x$ .
Appliquer la règle : signe de $a$ à l’extérieur, signe opposé à l’intérieur, $0$ aux racines.

S’il n’y a aucune racine, le trinôme garde le signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$ (il ne change jamais de signe).

Lecture et résolution graphiques

Lire les informations sur une parabole

Sur la courbe d’une fonction du second degré, on lit :

le sens d’ouverture (vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ ) ;
le sommet $S(\alpha\,;\beta)$ , donc le minimum ou le maximum de la fonction ;
les racines, abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses (solutions de $f(x) = 0$ ) ;
pour résoudre $f(x) = k$ , on cherche les abscisses des points de la courbe situés à la hauteur $k$ (intersection avec la droite horizontale d’équation $y = k$ ).

Optimiser un bénéfice

Trouver un bénéfice maximal

Dans un problème de gestion, le bénéfice $B(x)$ (en fonction du prix ou de la quantité $x$ ) est souvent un trinôme avec $a < 0$ : la parabole est une colline, donc le bénéfice possède un maximum au sommet.

Identifier $a$ , $b$ , $c$ et vérifier que $a < 0$ (sinon il n’y a pas de maximum).
Calculer l’abscisse du sommet $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ : c’est la quantité (ou le prix) optimale.
Calculer $\beta = B(\alpha)$ : c’est le bénéfice maximal.
Conclure par une phrase qui répond à la question (« le bénéfice est maximal pour… et vaut… »).

Un bénéfice à optimiser

Une entreprise modélise son bénéfice quotidien, en euros, par $B(x) = -2x^{2} + 40x - 150$ , où $x$ est le nombre d’articles vendus. Ici $a = -2 < 0$ : il y a un maximum. $\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2 \times (-2)} = -\frac{40}{-4} = 10$ $\beta = B(10) = -2 \times 10^{2} + 40 \times 10 - 150 = -200 + 400 - 150 = 50$ Le bénéfice est maximal pour $10$ articles vendus et vaut alors $50$ , soit 50 €. Les racines de $B$ (les valeurs où $B(x) = 0$ ) donneraient en plus les deux quantités qui délimitent la zone de rentabilité.

Les pièges classiques

FAUX : croire que $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ est l’ordonnée du sommet. VRAI : $\alpha$ est l’abscisse du sommet ; l’ordonnée $\beta$ s’obtient en calculant $f(\alpha)$ .
FAUX : oublier le signe de $b$ dans $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ . VRAI : avec $b = -12$ et $a = 2$ , on a $\alpha = -\dfrac{-12}{2 \times 2} = 3$ (deux signes moins donnent un plus).
FAUX : penser qu’un trinôme avec $a > 0$ admet un maximum. VRAI : si $a > 0$ le sommet est un minimum ; le maximum n’existe que si $a < 0$ .
FAUX : dire que le trinôme est positif entre ses racines. VRAI : entre les racines, il est du signe opposé à $a$ ; il est du signe de $a$ à l’extérieur des racines.
FAUX : développer $a(x - x_1)(x - x_2)$ en écrivant les racines avec leur propre signe, par exemple $(x - 5)$ pour une racine $-5$ . VRAI : pour une racine $x_1 = -5$ , le facteur est $(x - (-5)) = (x + 5)$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Lire le sommet sur la forme canonique

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2(x - 3)^{2} + 4$ . Donner les coordonnées du sommet $S$ de la parabole, puis préciser s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.

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Trouver les racines à partir de la forme factorisée

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3(x - 2)(x + 5)$ . Déterminer les racines de $f$ , c'est-à-dire les solutions de l'équation $f(x) = 0$ .

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Calculer le sommet à partir de la forme développée

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{2} - 6x + 11$ . Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole, puis en déduire la forme canonique de $f$ .

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Prix de vente qui maximise la recette

Une entreprise vend un produit au prix de $x$ euros l'unité, avec $0 \le x \le 30$ . Une étude de marché modélise sa recette journalière, en euros, par $R(x) = -2x^{2} + 60x$ . Déterminer le prix de vente qui rend la recette maximale, et calculer cette recette maximale.

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Seuils de rentabilité et signe du bénéfice

Le bénéfice mensuel d'un atelier, en milliers d'euros, est modélisé par $B(x) = -2(x - 5)(x - 25)$ , où $x$ est le nombre de pièces produites (en centaines), avec $0 \le x \le 30$ . Déterminer les quantités pour lesquelles l'atelier est rentable, c'est-à-dire pour lesquelles $B(x) > 0$ .

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Bénéfice maximal à partir de la recette et du coût

Une entreprise produit et vend $x$ centaines d'articles, avec $0 \le x \le 20$ . Sa recette, en milliers d'euros, est $R(x) = 90x$ et son coût total, en milliers d'euros, est $C(x) = 3x^{2} + 30x + 192$ . Exprimer le bénéfice $B(x)$ , déterminer la quantité qui le rend maximal et calculer ce bénéfice maximal. Préciser aussi les quantités pour lesquelles l'entreprise est rentable.

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Étude complète des variations d'un trinôme

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -3x^{2} + 12x - 7$ . Étudier le sens de variation de $f$ , dresser son tableau de variations, et préciser l'extremum de la fonction.

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Bonus

Prix optimal et plage de prix rentables

Un commerçant vend un produit au prix de $x$ euros, avec $0 \le x \le 24$ . Son bénéfice quotidien, en euros, est modélisé par $B(x) = -x^{2} + 24x - 108$ . Déterminer le prix qui rend le bénéfice maximal et la valeur de ce bénéfice, puis déterminer la plage de prix pour laquelle le commerçant réalise un bénéfice positif.

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Questions fréquentes

Comment trouver le sommet d'une parabole en Première STMG ?

Le plus simple est de partir de la forme canonique de la fonction, c'est-à-dire a fois la quantité x moins alpha, le tout au carré, plus bêta. Les coordonnées du sommet se lisent alors directement : son abscisse est alpha et son ordonnée est bêta, donc le sommet est le point S de coordonnées alpha et bêta. Si on n'a que la forme développée, on peut aussi calculer l'abscisse du sommet avec la formule alpha égale moins b divisé par deux a, puis remplacer x par alpha dans la fonction pour obtenir bêta. Le sommet est un minimum quand a est positif et un maximum quand a est négatif.

Quelle est la différence entre la forme développée, canonique et factorisée ?

Ce sont trois écritures de la même fonction du second degré, chacune utile pour une chose précise. La forme développée a x au carré plus b x plus c sert à lire le coefficient a et l'ordonnée à l'origine c. La forme canonique a fois la quantité x moins alpha au carré, plus bêta donne directement le sommet et donc le minimum ou le maximum. La forme factorisée a fois la quantité x moins x un, fois la quantité x moins x deux donne directement les racines, c'est-à-dire les valeurs qui annulent la fonction. Selon la question posée, on choisit la forme la plus pratique.

À quoi sert le second degré en gestion ?

En gestion, beaucoup de grandeurs s'expriment par une fonction du second degré, notamment le bénéfice d'une entreprise en fonction du prix de vente ou de la quantité produite. Comme la courbe est une parabole tournée vers le bas quand le coefficient a est négatif, elle possède un point le plus haut : ce sommet correspond au bénéfice maximal et son abscisse donne le prix ou la quantité qui optimise ce bénéfice. La forme factorisée, elle, donne les seuils de rentabilité, c'est-à-dire les valeurs pour lesquelles le bénéfice est nul.