Première STMG
Seuils de rentabilité et signe du bénéfice
Énoncé
Le bénéfice mensuel d'un atelier, en milliers d'euros, est modélisé par , où est le nombre de pièces produites (en centaines), avec . Déterminer les quantités pour lesquelles l'atelier est rentable, c'est-à-dire pour lesquelles .
Besoin d'un coup de pouce ?
- Commence par trouver les racines : résous grâce à la règle du produit nul.
- Le signe d'un trinôme suit la règle : signe de à l'extérieur des racines, signe opposé entre les racines.
- Ici , donc est positif entre les deux racines. Vérifie avec une valeur test comme .
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
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1. Trouver les racines
est déjà sous forme factorisée. On résout , soit . Le facteur n'est jamais nul, donc ou , ce qui donne les racines et . Ce sont les seuils de rentabilité (bénéfice nul). -
2. Déterminer le signe à l'aide du coefficient a
Le coefficient dominant est . D'après la règle du signe du trinôme, est du signe de (donc négatif) à l'extérieur des racines, et du signe opposé à (donc positif) entre les racines et . -
3. Vérifier avec une valeur test
Prenons , situé entre les racines : Le bénéfice est bien positif entre les racines, ce qui confirme l'analyse. -
4. Conclure
L'atelier est rentable, c'est-à-dire , lorsque le nombre de pièces est strictement compris entre et (centaines de pièces). En dessous de ou au-dessus de , le bénéfice devient négatif : l'atelier travaille à perte.
Réponse finale
Ta progression