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Rêves Vision
Première STMG

Calculer le sommet à partir de la forme développée

Énoncé

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−6x+11f(x) = x^{2} - 6x + 11. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole, puis en déduire la forme canonique de ff.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La forme développée est ax2+bx+cax^{2} + bx + c : commence par repérer aa, bb et cc avec leurs signes.
  2. L'abscisse du sommet se calcule avec α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a}, puis son ordonnée avec β=f(α)\beta = f(\alpha).
  3. Pour la forme canonique, réutilise simplement aa, α\alpha et β\beta dans a(x−α)2+βa(x - \alpha)^{2} + \beta.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier les coefficients

    La fonction est sous forme développée f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^{2} + bx + c. On identifie a=1a = 1, b=−6b = -6 et c=11c = 11. Comme a=1≠0a = 1 \neq 0, il s'agit bien d'une fonction du second degré.

  2. 2. Calculer l'abscisse du sommet

    L'abscisse du sommet est α=−b2a=−−62×1=62=3.\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2 \times 1} = \dfrac{6}{2} = 3. Le signe moins devant bb et le bb négatif se combinent pour donner un résultat positif.

  3. 3. Calculer l'ordonnée du sommet

    On remplace xx par α=3\alpha = 3 dans la fonction : β=f(3)=32−6×3+11=9−18+11=2.\beta = f(3) = 3^{2} - 6 \times 3 + 11 = 9 - 18 + 11 = 2. Le sommet est donc le point S(3 ;2)S(3\,;2).

  4. 4. Écrire la forme canonique et conclure

    Avec a=1a = 1, α=3\alpha = 3 et β=2\beta = 2, la forme canonique est f(x)=a(x−α)2+β=(x−3)2+2.f(x) = a(x - \alpha)^{2} + \beta = (x - 3)^{2} + 2. Le sommet est S(3 ;2)S(3\,;2) et la forme canonique de ff est f(x)=(x−3)2+2.f(x) = (x - 3)^{2} + 2.
Réponse finale
S(3 ;2)etf(x)=(x−3)2+2S(3\,;2) \quad \text{et} \quad f(x) = (x - 3)^{2} + 2
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