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Rêves Vision
Première STMG

Prix de vente qui maximise la recette

Énoncé

Une entreprise vend un produit au prix de xx euros l'unité, avec 0≤x≤300 \le x \le 30. Une étude de marché modélise sa recette journalière, en euros, par R(x)=−2x2+60xR(x) = -2x^{2} + 60x. Déterminer le prix de vente qui rend la recette maximale, et calculer cette recette maximale.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Regarde d'abord le signe de aa : un maximum n'existe que si a<0a < 0.
  2. Le prix optimal est l'abscisse du sommet, donnée par α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a}.
  3. La recette maximale s'obtient en calculant R(α)R(\alpha), l'image du prix optimal.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier les coefficients et la nature de l'extremum

    La recette est une fonction du second degré R(x)=ax2+bx+cR(x) = ax^{2} + bx + c avec a=−2a = -2, b=60b = 60 et c=0c = 0. Comme a=−2<0a = -2 < 0, la parabole est tournée vers le bas : elle admet un point le plus haut, donc un maximum au sommet.

  2. 2. Calculer le prix optimal (abscisse du sommet)

    Le prix qui maximise la recette est l'abscisse du sommet : α=−b2a=−602×(−2)=−60−4=15.\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{60}{2 \times (-2)} = -\dfrac{60}{-4} = 15. Ce prix 1515 appartient bien à l'intervalle [0 ;30][0\,;30] de l'étude.

  3. 3. Calculer la recette maximale (ordonnée du sommet)

    On remplace xx par 1515 dans la recette : R(15)=−2×152+60×15=−2×225+900=−450+900=450.R(15) = -2 \times 15^{2} + 60 \times 15 = -2 \times 225 + 900 = -450 + 900 = 450.

  4. 4. Conclure

    La recette est maximale pour un prix de vente de 15 € l'unité, et cette recette maximale vaut 450 € par jour. Au-delà de ce prix, la recette rediminue car les clients achètent moins.
Réponse finale
α=15etR(15)=450\alpha = 15 \quad \text{et} \quad R(15) = 450
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