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Comparer deux opérations commerciales (gain et risque)

Énoncé

Une entreprise hésite entre deux opérations commerciales. Pour l'opération A, le gain XAX_A (en euros) vaut 1010 avec une probabilité de 0,60{,}6 et −5-5 avec une probabilité de 0,40{,}4. Pour l'opération B, le gain XBX_B vaut 66 avec une probabilité de 0,80{,}8 et −4-4 avec une probabilité de 0,20{,}2. 1) Calculer E(XA)E(X_A) et E(XB)E(X_B). 2) Calculer σ(XA)\sigma(X_A) et σ(XB)\sigma(X_B). 3) Quelle opération conseiller, et pourquoi ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Calcule d'abord chaque espérance avec E(X)=∑xi piE(X) = \sum x_i\, p_i ; tu remarqueras qu'elles sont égales.
  2. Pour chaque opération, la variance est V(X)=∑pi (xi−E(X))2V(X) = \sum p_i\,(x_i - E(X))^{2}, puis σ(X)=V(X)\sigma(X) = \sqrt{V(X)}.
  3. À espérance égale, la meilleure option est celle dont l'écart-type est le plus faible : le gain y est plus régulier, donc moins risqué.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer les deux espérances

    Opération A : E(XA)=10×0,6+(−5)×0,4=6−2=4.E(X_A) = 10 \times 0{,}6 + (-5) \times 0{,}4 = 6 - 2 = 4. Opération B : E(XB)=6×0,8+(−4)×0,2=4,8−0,8=4.E(X_B) = 6 \times 0{,}8 + (-4) \times 0{,}2 = 4{,}8 - 0{,}8 = 4. Les deux opérations ont la même espérance : 44 euros par opération.

  2. 2. Calculer la variance de l'opération A

    V(XA)=0,6×(10−4)2+0,4×(−5−4)2=0,6×36+0,4×81=21,6+32,4=54.V(X_A) = 0{,}6 \times (10 - 4)^{2} + 0{,}4 \times (-5 - 4)^{2} = 0{,}6 \times 36 + 0{,}4 \times 81 = 21{,}6 + 32{,}4 = 54. D'où σ(XA)=54≈7,35.\sigma(X_A) = \sqrt{54} \approx 7{,}35.

  3. 3. Calculer la variance de l'opération B

    V(XB)=0,8×(6−4)2+0,2×(−4−4)2=0,8×4+0,2×64=3,2+12,8=16.V(X_B) = 0{,}8 \times (6 - 4)^{2} + 0{,}2 \times (-4 - 4)^{2} = 0{,}8 \times 4 + 0{,}2 \times 64 = 3{,}2 + 12{,}8 = 16. D'où σ(XB)=16=4.\sigma(X_B) = \sqrt{16} = 4.

  4. 4. Comparer et conclure

    Les deux opérations rapportent en moyenne le même gain (E=4E = 4 euros), mais l'écart-type de B (44) est plus petit que celui de A (≈7,35\approx 7{,}35). À gain moyen égal, on conseille l'opération B, dont les résultats sont plus réguliers (moins dispersés autour de la moyenne), donc moins risqués pour l'entreprise.
Réponse finale
E(XA)=E(XB)=4  ;σ(XA)=54≈7,35  ;σ(XB)=16=4  ⇒  opeˊration B (plus reˊgulieˋre)E(X_A) = E(X_B) = 4 \;;\quad \sigma(X_A) = \sqrt{54} \approx 7{,}35 \;;\quad \sigma(X_B) = \sqrt{16} = 4 \;\Rightarrow\; \text{opération B (plus régulière)}
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