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Rêves Vision
Première STMG

Espérance, variance et écart-type d'une variable

Énoncé

Une variable aléatoire XX a pour loi de probabilité : P(X=10)=0,2P(X = 10) = 0{,}2, P(X=20)=0,5P(X = 20) = 0{,}5 et P(X=30)=0,3P(X = 30) = 0{,}3. Calculer l'espérance E(X)E(X), la variance V(X)V(X) et l'écart-type σ(X)\sigma(X).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Calcule d'abord E(X)=∑xi piE(X) = \sum x_i\, p_i : tu en auras besoin pour la variance.
  2. Pour la variance, calcule chaque écart xi−E(X)x_i - E(X), élève-le au carré, multiplie par pip_i, puis additionne.
  3. L'écart-type est la racine carrée de la variance : σ(X)=V(X)\sigma(X) = \sqrt{V(X)}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Vérifier la loi puis calculer l'espérance

    La somme des probabilités vaut 0,2+0,5+0,3=1.0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}3 = 1. On calcule l'espérance : E(X)=10×0,2+20×0,5+30×0,3=2+10+9=21.E(X) = 10 \times 0{,}2 + 20 \times 0{,}5 + 30 \times 0{,}3 = 2 + 10 + 9 = 21.

  2. 2. Calculer les écarts à l'espérance au carré

    On calcule (xi−E(X))2(x_i - E(X))^{2} pour chaque valeur : (10−21)2=(−11)2=121(10 - 21)^{2} = (-11)^{2} = 121,   (20−21)2=(−1)2=1\;(20 - 21)^{2} = (-1)^{2} = 1,   (30−21)2=92=81.\;(30 - 21)^{2} = 9^{2} = 81.

  3. 3. Calculer la variance

    V(X)=∑pi (xi−E(X))2=0,2×121+0,5×1+0,3×81=24,2+0,5+24,3=49.V(X) = \sum p_i\,(x_i - E(X))^{2} = 0{,}2 \times 121 + 0{,}5 \times 1 + 0{,}3 \times 81 = 24{,}2 + 0{,}5 + 24{,}3 = 49.

  4. 4. Calculer l'écart-type et conclure

    σ(X)=V(X)=49=7.\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{49} = 7. On obtient E(X)=21E(X) = 21, V(X)=49V(X) = 49 et σ(X)=7.\sigma(X) = 7. L'écart-type 77 mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne 2121.
Réponse finale
E(X)=21  ;V(X)=49  ;σ(X)=49=7E(X) = 21 \;;\quad V(X) = 49 \;;\quad \sigma(X) = \sqrt{49} = 7
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