Aller au contenu
Rêves Vision
Première STMG

Probabilité manquante puis espérance

Énoncé

Une variable aléatoire XX prend les valeurs 5050, 2020 et −10-10. On sait que P(X=50)=0,3P(X = 50) = 0{,}3 et P(X=−10)=0,2P(X = -10) = 0{,}2, mais P(X=20)P(X = 20) est inconnue. 1) Déterminer P(X=20)P(X = 20). 2) Calculer l'espérance E(X)E(X) et préciser son signe.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La somme de toutes les probabilités d'une loi vaut toujours 11 : sers-t'en pour trouver la probabilité manquante.
  2. Une fois la loi complète, applique E(X)=∑xi piE(X) = \sum x_i\, p_i.
  3. N'oublie pas le signe de la valeur −10-10 dans le calcul de l'espérance.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Utiliser la somme des probabilités

    La somme de toutes les probabilités vaut 11 : P(X=50)+P(X=20)+P(X=−10)=1.P(X = 50) + P(X = 20) + P(X = -10) = 1. Donc 0,3+P(X=20)+0,2=1.0{,}3 + P(X = 20) + 0{,}2 = 1.

  2. 2. Isoler la probabilité manquante

    On a 0,5+P(X=20)=10{,}5 + P(X = 20) = 1, d'où P(X=20)=1−0,5=0,5.P(X = 20) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5.

  3. 3. Calculer l'espérance

    E(X)=50×0,3+20×0,5+(−10)×0,2=15+10−2=23.E(X) = 50 \times 0{,}3 + 20 \times 0{,}5 + (-10) \times 0{,}2 = 15 + 10 - 2 = 23. La valeur négative −10-10 est bien comptée avec son signe.

  4. 4. Conclure

    On a P(X=20)=0,5P(X = 20) = 0{,}5 et E(X)=23.E(X) = 23. L'espérance est positive, ce qui indique une valeur moyenne attendue de 2323 sur un grand nombre de répétitions.
Réponse finale
P(X=20)=0,5  ;E(X)=50×0,3+20×0,5+(−10)×0,2=23P(X = 20) = 0{,}5 \;;\quad E(X) = 50 \times 0{,}3 + 20 \times 0{,}5 + (-10) \times 0{,}2 = 23
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Variable aléatoire, espérance et loi de Bernoulli ← Retour au cours

À suivre