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Rêves Vision
Première STMG

Succès d'une vente : loi de Bernoulli complète

Énoncé

Un commercial contacte un client : la vente aboutit avec une probabilité p=0,4p = 0{,}4, sinon elle échoue. On note XX la variable aléatoire qui vaut 11 si la vente aboutit et 00 sinon. 1) Justifier que XX suit une loi de Bernoulli et donner son paramètre. 2) Dresser la loi de probabilité de XX. 3) Calculer E(X)E(X), V(X)V(X) et σ(X)\sigma(X) (valeur arrondie au centième), et interpréter E(X)E(X).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Deux issues seulement (vente réussie ou non) : c'est une épreuve de Bernoulli ; le paramètre pp est la probabilité du succès.
  2. Pour une loi de Bernoulli, retiens directement E(X)=pE(X) = p et V(X)=p(1−p)V(X) = p(1-p).
  3. L'écart-type est σ(X)=V(X)\sigma(X) = \sqrt{V(X)} ; ici 0,24\sqrt{0{,}24}, à arrondir au centième.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la loi de Bernoulli

    L'expérience n'a que deux issues : la vente aboutit (succès) ou échoue (échec). Comme XX vaut 11 pour le succès et 00 pour l'échec, XX suit une loi de Bernoulli de paramètre p=0,4p = 0{,}4 (la probabilité du succès).

  2. 2. Dresser la loi de probabilité

    La probabilité de l'échec est 1−p=1−0,4=0,6.1 - p = 1 - 0{,}4 = 0{,}6. La loi de XX est donc : P(X=1)=0,4P(X = 1) = 0{,}4 et P(X=0)=0,6.P(X = 0) = 0{,}6. On vérifie : 0,6+0,4=1.0{,}6 + 0{,}4 = 1.

  3. 3. Calculer l'espérance et la variance

    Pour une loi de Bernoulli : E(X)=p=0,4.E(X) = p = 0{,}4. La variance vaut V(X)=p(1−p)=0,4×0,6=0,24.V(X) = p(1 - p) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24.

  4. 4. Calculer l'écart-type et interpréter

    σ(X)=V(X)=0,24≈0,49.\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}24} \approx 0{,}49. On obtient E(X)=0,4E(X) = 0{,}4, V(X)=0,24V(X) = 0{,}24 et σ(X)≈0,49.\sigma(X) \approx 0{,}49. L'espérance 0,40{,}4 s'interprète comme la proportion moyenne de ventes réussies : sur un grand nombre de contacts, environ 40 %40\,\% aboutissent.
Réponse finale
E(X)=p=0,4  ;V(X)=p(1−p)=0,24  ;σ(X)=0,24≈0,49E(X) = p = 0{,}4 \;;\quad V(X) = p(1-p) = 0{,}24 \;;\quad \sigma(X) = \sqrt{0{,}24} \approx 0{,}49
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