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Rêves Vision

Première · Chapitre 4

La fonction exponentielle

Cours de Première sur la fonction exponentielle : définition, propriétés algébriques, signe, dérivée et résolution d'équations. Avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

L’exponentielle est la fonction de la croissance : elle se reconnaît à une propriété unique, sa dérivée est égale à elle-même. Toujours positive, strictement croissante, elle transforme les sommes en produits - l’inverse exact du logarithme.

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp⁡\exp ou x↦e xx \mapsto e^{\,x}, est l’unique fonction ff dérivable sur R\mathbb{R} telle que : f′=fetf(0)=1f' = f \qquad \text{et} \qquad f(0) = 1

Propriétés algébriques

Pour tous réels aa et bb et tout entier nn : e a+b=e a×e be −a=1e ae ae b=e a−b(e a)n=e nae^{\,a+b} = e^{\,a} \times e^{\,b} \qquad e^{\,-a} = \frac{1}{e^{\,a}} \qquad \frac{e^{\,a}}{e^{\,b}} = e^{\,a-b} \qquad \left(e^{\,a}\right)^n = e^{\,na}

Signe et variations

Pour tout réel xx, e x>0e^{\,x} > 0. La dérivée vaut (e x)′=e x>0\left(e^{\,x}\right)' = e^{\,x} > 0 : la fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R}.

Équations et inéquations

Grâce à la stricte croissance, pour tous réels aa et bb : e a=e b  ⟺  a=be a<e b  ⟺  a<be^{\,a} = e^{\,b} \iff a = b \qquad e^{\,a} < e^{\,b} \iff a < b

Dériver une exponentielle composée

Si uu est une fonction dérivable, alors (e u)′=u′ e u.\left(e^{\,u}\right)' = u' \, e^{\,u}.

Le piège de la somme

e a+b≠e a+e be^{\,a+b} \neq e^{\,a} + e^{\,b} : l’exponentielle d’une somme est un produit, e a+b=e a×e b.e^{\,a+b} = e^{\,a} \times e^{\,b}.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Simplifier un produit d'exponentielles

Simplifier l'expression A=e2×e3A = e^{2} \times e^{3}.

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Simplifier une expression exponentielle

Simplifier l'expression B=(e x)2×e−xB = \left(e^{\,x}\right)^2 \times e^{-x}.

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Dériver un quotient avec exponentielle

Sur une boutique en ligne de sneakers, le bénéfice quotidien (en milliers d'euros) est modélisé par la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e xx+1f(x) = \dfrac{e^{\,x}}{x + 1}, où x≥0x \geq 0 représente l'effort publicitaire. Dériver la fonction ff et donner l'expression de f′(x)f'(x) sous forme factorisée.

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Dériver une fonction avec exponentielle

Dériver la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x+1) e xf(x) = (x + 1)\,e^{\,x}.

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Résoudre une équation exponentielle

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation e 2x=e x+3e^{\,2x} = e^{\,x+3}.

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Simplifier une expression fractionnaire

Simplifier au maximum l'expression C=e 3x×e −xe xC = \dfrac{e^{\,3x} \times e^{\,-x}}{e^{\,x}} et l'écrire sous la forme e kxe^{\,kx} où kk est un entier à déterminer.

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Résoudre une équation par changement de variable

Un studio indépendant vend un jeu sur une plateforme. L'écart de stock (en milliers de copies) par rapport à l'objectif suit le modèle N(t)=e 2t+e t−2N(t) = e^{\,2t} + e^{\,t} - 2, où t≥0t \geq 0 est le temps en mois. Déterminer les instants tt pour lesquels N(t)=0N(t) = 0, c'est-à-dire résoudre dans R\mathbb{R} l'équation e 2t+e t−2=0e^{\,2t} + e^{\,t} - 2 = 0.

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Bonus

Résoudre une inéquation exponentielle

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation e x2≥e 2xe^{\,x^2} \geq e^{\,2x}.

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Compétences travaillées

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Questions fréquentes

Quelles sont les propriétés de la fonction exponentielle ?
Pour tous réels a et b : e puissance (a+b) = e puissance a × e puissance b, e puissance (−a) = 1 divisé par e puissance a et (e puissance a) puissance n = e puissance (na). De plus, e puissance x > 0 pour tout réel x.
La fonction exponentielle est-elle croissante ?
Oui. Sa dérivée est elle-même, (e puissance x)′ = e puissance x, et comme e puissance x > 0, la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
Quelle est la dérivée de e puissance u ?
La dérivée de e puissance u(x) est u′(x) × e puissance u(x).